《【全程复习方略】（山东专用）2020版高考数学 第七章 第八节 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课时提升作业 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】（山东专用）2020版高考数学 第七章 第八节 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课时提升作业 理 新人教A版（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【全程复习方略】（山东专用）2020版高考数学 第七章 第八节 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课时提升作业 理 新人教A版一、选择题1.(2020郑州模拟)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为( )(A)120(B)30(C)90(D)602.(2020银川模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为边长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值为( )(A)(B)(C)(D)3.(2020合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A
2、1-BD-C1的余弦值为( )(A)(B)(C)(D)4.已知直二面角-l-,点A,ACl,C为垂足，B,BDl,D为垂足.若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于( )(A)(B)(C)(D)15.(2020三亚模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，ACB=90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为( )(A)(B)-(C)(D)-6.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )(A)(B)(C)(D)二、
3、填空题7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为_8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为_.9.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD，则该二面角的大小为_.10.正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角等于_三、解答题11.(2020安阳模拟)如图，正方形ABCD所在平面与等腰
4、三角形EAD所在平面相交于AD，EA=ED，AE平面CDE.(1)求证：AB平面ADE.(2)设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时，试确定点M的位置.12.(2020青岛模拟)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点.(1)求证：AE平面A1BD.(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.(3)求点B1到平面A1BD的距离.13.(能力挑战题)已知正方形ABCD的边长为2，ACBD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a,得到三棱锥A-BCD，如图所示.(1)当a=2时，求证：AO平面BCD.(2)当二
5、面角A-BD-C的大小为120时，求二面角A-BC-D的正切值.答案解析1.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(,0,0),B(0,0), C(0,0,),D(0,-,0),=(-,-,0),=(0,-,),|=2,| |=2, =2,.异面直线AD，BC所成的角为60.2.【解析】选D.如图，建立坐标系，易求点D(，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cosn,=,即sin =3.【解析】选D.设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,易知A1EBD，C1EBD，则A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角，(，-，1)，(-，1)，cos
6、.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步骤是：建系;分别求构成二面角的两个半平面的法向量;求法向量夹角的余弦值;根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.4.【解析】选C.,| |2=2.在RtBDC中，BC.平面ABC平面BCD，过D作DHBC于H，则DH平面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH,故选C.5.【解析】选A.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，ACB=90，F，G分别是线段AE，BC的中点.以C为原点建立空间直角坐标系Cx
7、yz,A(0，2，0)，B(2，0，0)，D(0，0，2)，G(1，0，0)，F(0，2，1)，=(0，-2，2)， =(-1，2，1)，| |=2，|=，=-2，直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )(A)(B)(C)(D)【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AMOP恒成立，即AM与OP所成的角为6.【解析】选C.如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0,2a
8、,0)，C(0，2a,2a)，G(a,a，0)，F(a，0，0)，(a，a，0)，(0，2a，2a)，(a，-a，0)，(0，0，2a).设平面AGC的一个法向量为n1(x1,y1,1),由n1=(1,-1,1).设为GB与平面AGC所成的角，则sin =.7.【解析】以D为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，(2,0,1)，又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则(2,2,0)，(0,1,2)，可得平面BDM的一个法向量n(2，2,1)，因为，故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.答案：8.【解析】
9、以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(,1)，=(0，1，0)， =(-1，0，1)，设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)，由得令x=1，得n=(1,0,1).又(-,-,0)，O到平面ABC1D1的距离d=.答案:9.【解析】由条件,知0，0，62+42+82+268cos=()2,cos=,120,二面角的大小为60.答案：6010.【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A(a,0,0)，B(0，a,
10、0)，C(-a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0).设平面PAC的法向量为n，可取n(0,1,1)，则，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：3011.【解析】(1)AE平面CDE，CD平面CDE，AECD.在正方形ABCD中，CDAD,ADAE=A,CD平面ADE.ABCD,AB平面ADE.(2)由(1)得平面EAD平面ABCD，取AD中点O，连接EO.EA=ED,EOAD,EO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设M(x,y,z).=(x-1,y-2,z), =(
11、-1,-2,1),B,M,E三点共线，设=,M(1-,2-2,),=(-,2-2,).设AM与平面EAD所成角为,平面EAD的一法向量为n=(0,1,0),sin =，解得=，即点M为BE的中点.【变式备选】(2020石家庄模拟)如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2，底面正方形两条对角线相交于O点，M是侧棱PC的中点.(1)求此正四棱锥的体积.(2)求直线BM与侧面PAB所成角的正弦值.【解析】(1)由题可得，PO底面ABCD.在RtAOP中，AOAC，AP2，PO.故VP-ABCD=S底PO4.(2)由(1)知PO底面ABCD，且OAOB，以O点为原点，OA，OB，OP所在的直线分
12、别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为A(，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，M()，设平面ABP的一个法向量为n(x,y,z)，则有取x=1，则y=1,z=1，n=(1,1,1),sin = 12.【思路点拨】由AA1平面ABC可知，平面ABC平面ACC1A1，故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.【解析】(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，C(-1，0，0)，E(-1，-1，0)，A1(1，-2，0)，C1(-1，-2，0)，B(0，0，)，B1(0，-2，)，(-2，-1，0
13、)，(-1，2，0)，(0，0，-).2-2+00，AEA1D，0，AEBD.又A1D与BD相交于D，AE平面A1BD.(2)设平面DA1B的一个法向量为n1(x1,y1,z1),由取n1=(2,1,0).设平面AA1B的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),易得=(-1，2，)， =(0，2，0),则由取n2(3,0，).cosn1, n2=.故二面角D-BA1-A的余弦值为.(3)(0，2，0)，平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),则B1到平面A1BD的距离为d=.13.【解析】(1)根据题意，在AOC中，AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2，所以AOCO.又A
14、OBD,BDCO=O,所以AO平面BCD.(2)方法一：由(1)知，COOD,以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz,则有O(0,0,0),D(0, ,0),C(,0,0),B(0,-,0).设A(x0,0,z0)(x00),则=(x0,0,z0), =(0,0).平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120,所以|cosm,n|=|cos 120|=,得z02=3x02.因为|OA|=,所以.解得x0=,z0=.所以A().平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).设二面角A-BC-D的平面角为,所以cos =|cosl,m|=.所以tan =.所以二面角A-BC-D的正切值为.方法二：折叠后，BDAO,BDCO.所以AOC是二面角A-BD-C的平面角，即
