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1、第十一章 概率11.1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是（ ）A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案 B2.从12个同类产品中（其中有10个正品，2个次品），任意抽取3个，下列事件是必然事件的是（ ）A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品答案D3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，
2、6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）A.B.C. D.答案D5.（2020全国理，6）从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A.B.C. D. 答案D例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.解 （1）这个试验的基本事
3、件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 (12分)甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，
4、甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是109=90种，即基本事件总数是90. 3分（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为64=24.6分P（A）=.7分（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件
5、B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为43=12.P（B）=,10分由对立事件的性质可得P（C）=1-P（B）=1-.12分例3 设有5个人，每个人都被等可能地分到8个房间中任意一间去住，求下列事件的概率：（1）指定的5个房间各有1人住；（2）恰好5个房间，其中各住1人；（3）某指定的房间中恰有3个人住.解 （1）记A为“指定的5个房间各住1人”，则A中有种分法，所以指定的5个房间各住1人的概率P（A）=.（2）记“恰好有5个房间其中各住1人”为事件B，则B中有种分法，所以P（B）=.（3）记“某指定房间恰有3人”为事件C，指定的房间住3人，有种分法，剩余2人中的每人可在7个房
6、间中任选1间有72种选法，所以C中包含72种不同的选法，所以P（C）=.1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3
7、），（2，3），故P（A）=.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.2.在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取出一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，试求：（1）x+y是10的倍数的概率；（2）xy是3的倍数的概率.解 （1）先后两次抽取卡片，每次都有110这10种结果，故形成有序实数对（x，y）共有1010=100个.因为x+y是10的倍数,它包含下列10个数对:(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4)(7,3),(8,2),(9,1),(10,10),故x+y是10的倍数的
8、概率P(A)=.(2)符合xy是3的倍数，只要x是3的倍数或y是3的倍数就可以.其中x是3的倍数，y不是3的倍数与y是3的倍数，x不是3的倍数的数对（x，y）各有个；x，y都是3的倍数的数对有个，故xy是3的倍数的数对（x，y）有2+个.因此所求的xy是3的倍数的概率P（A）=.3.（1）某医院3位主任医师，每人一周出诊一天，出诊时间可以在7天之中随意安排，求3位主任医师在不同的3天出诊活动的概率.（2）6位同学随意到A、B、C三处参加社会实践，求A处恰有3位同学的概率.解 （1）3位主任医师在7天内，每人随意安排一天出诊的方法数为73，记“3位主任医师在不同三天出诊”为事件A1，它们的结果数
9、就是.P(A1)=.（2）6位同学随意到A、B、C三处中的一处，参加社会实践活动的方法数为36，记“6人中有3人到A处”为事件A2，它的结果数为：23，事件A2的概率为P（A2）=.一、 选择题1.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为 （ ）A.B.C.D.答案A2.（2020辽宁理，7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A.B.C.D.答案C3.有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组，
10、第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（ ）A.B.C.D.答案B4.有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为（ ）A.B.C. D.答案A5.从一副去掉了大、小王的52张扑克牌中任取5张，取得“四种花色齐全”的概率是 （ ）A. B.C.D.答案D6.同时掷两枚骰子，则下列命题中正确的是 （ ）A.“两枚点数都是5”的概率比“两枚点数都是6”的概率小B.“两枚点数相同”的概率是C.“两枚点数之和为奇数”的概率小于“两枚点数之和为偶数”的概率D.“两枚点数之和为
11、6”的概率不大于“两枚点数之和为5”的概率答案B二、填空题7.（2020江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .答案 8.（2020上海文）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.答案 三、解答题9. 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1
12、=.（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共54=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2=.（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有32=6种基本事件，P3=.（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有种方法，从a个
13、正品中不放回抽样3次共有种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致.（2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率P=11. (2020海南，宁夏文，19)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;
14、(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解 (1)总体平均数为(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共
