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1、5 13 2020 1 第四节控制系统的信号流图 5 13 2020 2 信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系 它也是控制系统的一种数学模型 在求复杂系统的传递函数时较为方便 一 信号流图及其等效变换组成 信号流图由节点和支路组成 见下图 信号流图的概念 5 13 2020 4 信号流图的术语 几个术语 输出节点 阱点 只有输入支路的节点 如 X8 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点 如 X2 X3 X4 X5 X6 X7 混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点 它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加 通路 沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线 起始点和终点都在节点
2、上 若通路与任一节点相交不多于一次 且起点和终点不是同一节点称为开通路 起点在源点 终点在阱点的开通路叫前向通路 输入节点 源点 只有输出支路的节点 如 X1 X9 5 13 2020 5 回路 闭通路 通路与任一节点相交不多于一次 但起点和终点为同一节点的通路称为回路 互不接触回路 回路之间没有公共节点时 这种回路称为互不接触回路 信号流图的术语 通路传输 增益 通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益 前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益 回路传输 增益 回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益 5 13 2020 6 信号流图的等效变换 5 13 2020 7
3、 信号流图的等效变换 5 13 2020 8 信号流图的性质 节点表示系统的变量 一般 节点自左向右顺序设置 每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和 而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示 支路相当于乘法器 信号流经支路时 被乘以支路增益而变换为另一信号 信号在支路上只能沿箭头单向传递 即只有前因后果的因果关系 对于给定的系统 节点变量的设置是任意的 因此信号流图不是唯一的 信号流图的性质 5 13 2020 9 信号流图的绘制 信号流图的绘制 根据结构图列出系统各环节的拉氏方程 按变量间的数学关系绘制 先在结构图上标出节点 如上图所示 然后画出信号流图如下图所示 5 13
4、 2020 10 例2 已知结构图如下 可在结构图上标出节点 如上图所示 然后画出信号流图如下图所示 5 13 2020 11 信号流图的绘制 例2 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制 如前例所对应的代数方程为 按方程可绘制信号流图 5 13 2020 12 梅逊公式 用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输 即总传递函数 其表达式为 式中 总传输 即总传递函数 从输入节点到输出节点的前向通道总数 第k个前向通道的总传输 流图特征式 其计算公式为 二 梅逊增益公式 5 13 2020 13 梅逊公式 5 13 2020 14 梅逊公式 例2
5、13a 解 前向通道有一条 有一个回路 例2 13a 求速度控制系统的总传输 不计扰动 5 13 2020 15 梅逊公式 例2 13 解 先在结构图上标出节点 再根据逻辑关系画出信号流图如下 例2 13 绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数 5 13 2020 16 有两个互不接触回路 梅逊公式 例2 13 5 13 2020 17 梅逊公式 例2 13 讨论 信号流图中 a点和b点之间的传输为1 是否可以将该两点合并 使得将两个不接触回路变为接触回路 如果可以的话 总传输将不一样 不能合并 因为a b两点的信号值不一样 上图中 ui和ue I1和I a和b可以合并
6、 5 13 2020 18 梅逊公式 例2 14 例2 14 使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 解 在结构图上标出节点 如上图 然后画出信号流图 如下 5 13 2020 19 回路有三 分别为 有两个不接触回路 所以 梅逊公式 例2 14 5 13 2020 20 梅逊公式 例2 14 注意 上面讲不变 为什么 是流图特征式 也就是传递函数的特征表达式 对于一个给定的系统 特征表达式总是不变的 可以试着求一下 5 13 2020 21 梅逊公式注意事项 注意 梅森公式只能求系统的总增益 即输出对输入的增益 而输出对混合节点 中间变量 的增益不能直接应用梅森公式 也就是说对混合节点
7、不能简单地通过引出一条增益为一的支路 而把非输入节点变成输入节点 对此问题有两种方法求其传递函数 一 把该混合节点的所有输入支路去掉 然后再用梅森公式 二 分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数 然后把它们的结果相比 即可得到输出对该混合节点的传递函数 5 13 2020 22 梅逊公式 例2 15 有九条前向通道 分别是 5 13 2020 23 梅逊公式 例2 15 对应的结构图为 注意 信号流图与结构图的对应关系 仔细确定前向通道和回路的个数 作业 2 12 2 13 5 13 2020 24 小结 信号流图的组成 术语 信号流图的绘制和等效变换 梅逊公式极其应用 信号流
8、图和结构图之间的关系 小结 5 13 2020 25 梅逊公式的推导 附录 梅逊公式的推导 如前例已知信号流图如图所示 所对应的代数方程为 以R为输入 V2为输出则可整理成下列方程 5 13 2020 26 于是可求得该方程组的系数行列式 和 梅逊公式的推导 5 13 2020 27 根据克莱姆法则得 于是传递函数为 分析上式可以看到 传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式 而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系 从拓扑结构的观点 信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量 而信号流图所含回路的主要类型有两种 单独的回路和互不接触回路 梅逊公式的推导 5 13 2020 28 图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路 回路 和 和 和 所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 而 值恰好为 可见 传递函数的分母 取决于信号流图的拓扑结构特征 梅逊公式的推导 5 13 2020 29 如果把 中与第k条前向通道有关的回路去掉后 剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式 并记为 k 由图可得 从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 梅逊公式的推导 5 13 2020 30 故用信号流图拓扑结构的术语 系统的传递函数可表示为 梅逊公式的推导 传递函数的分子等于系数行列式 除以R s 而恰好为
