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1、2019届浙江省绍兴、嵊州高三下学期第二次教学质量调测数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】解一元二次方程，求得集合，再求两集合的交集即可.【详解】因为.故可得.故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，集合交集的求解，属简单题.2在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为（i为虚数单位），则点D对应的复数为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据三点对应的复数求得点的坐标，利用向量相等求得点坐标和对应复数即可.【详解】因为A，B，C对应的复数分别为，故可得，设点坐标为，因为四边形为平行四边形，故可得，解得，故可得点坐标为.故点对应的复数为.
2、故选：D.【点睛】本题考查复数对应的坐标以及向量，属综合基础题.3二项式的展开式中的第二项为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据的通项公式即可求得结果.【详解】因为的通项公式为，令，则可得二项式的展开式中的第二项为.故选：A.【点睛】本题考查由二项式定理求指定项，属基础题.4“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】从充分性和必要性的角度进行判断即可.【详解】等价于，故可得“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.5函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数奇偶性和特殊值
3、即可容易判断.【详解】因为定义域为关于原点对称，且，故是奇函数，故排除.又因为，故排除.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断，以及指数运算，属综合基础题.6已知双曲线的离心率为e，直线，则（ ）A存在m，使得B存在m，使得直线l与双曲线右支有一个公共点C存在m，使得D存在m，使得直线l与双曲线右支有两个公共点【答案】B【解析】根据双曲线方程，找出，根据范围，即可处理离心率的问题；根据渐近线的斜率，以及两直线的位置关系，即可处理直线与双曲线右支交点的问题.【详解】因为，故可得，且.则不存在，使得或，排除.因为双曲线的一条渐近线为，因为直线的斜率，故存在，使得直线与双曲线
4、右支有一个交点，不可能出现两个交点.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率与渐近线的范围，属综合基础题.7已知，随机变量的分布列如下：-101当a增大时，（ ）A增大，增大B增大，减小C减小，增大D减小，减小【答案】C【解析】求得之间的关系，再求出，讨论其单调性即可.【详解】因为分布列中概率之和为，故可得；故可得，其为关于的单调递减函数，故当增大时，减小；又又的对称轴，开口向下.故在当a增大时增大.故选：C.【点睛】本题考查根据分布列计算方差和数学期望，属基础题.8已知，是非零向量，若对任意的实数，有，则（ ）ABCD【答案】D【解析】将目标式两边平方，根据向量数量积的运算，得到关于的一元二次
5、不等式恒成立，由，即可求得结果.【详解】因为，两边平方可得恒成立，因为，故只需，即，整理得，故只能是，即.两边同加，则，即，解得.故排除.两边同加，则，即.故；因为，则，则容易得，则.故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉及一元二次不等式恒成立的条件转化，属综合中档题.9如图，已知三棱锥D-ABC，记平面DAB，平面DBC，平面DAC与底面ABC所成的锐二面角分别为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】找出点在平面的射影，根据射影点到二面角棱的距离即可比较二面角的大小.【详解】点D在底面ABC上的射影必定在过点A与AB边上的高CE平行的直线上因为，所以点位于角B平分线的左侧，于是点到已知
6、三个二面角的棱的距离大小为，于是故选：B.【点睛】本题考查二面角大小的比较，涉及线面垂直，属中档题.10已知数列中，记，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据数列的单调性即可判断；通过猜想归纳证明，即可求得.【详解】注意到，不难发现是递增数列（1），所以（2）因为，故，所以，即是增函数于是，递增，递减，所以，所以.事实上，不难猜想：证明如下：（1）（2）等价于，所以，故，于是，即有故选：C.【点睛】本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.二、双空题11我国古代数学著作算数书中有这样一个问题：“精米二斗值三钱，糙米三斗值二钱.现在有精、糙米共十斗，卖了十钱，问精、糙米各多
7、少斗？”设精米、糙米斗数分别为x，y，则，可解得_；_【答案】4 6 【解析】利用代入消元法即可求得方程组的解.【详解】因为，故可得，代入，可得，整理得.故可得.故答案为：；.【点睛】本题考查由应用一元二次方程组求解实际问题，属基础题.12已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是_，最大值是_【答案】1 5 【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：因为，等价于，与直线平行.数形结合可知，当目标函数过点时，分别取得最小值和最大值.故可得，.故答案为：1；5.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题.13某几何体的三视图如图
8、所示（单位：cm），则该几何体的体积是_，表面积是_【答案】78 118 【解析】根据三视图还原几何体，根据棱柱的体积公式和表面积计算，即可求得结果.【详解】根据三视图，还原几何体如下所示：容易知棱柱上下底面为直角梯形，梯形的上底长5，下底长8，高为4；棱柱的高为3.故该棱柱的体积；棱柱的表面积.故答案为：78；118.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及求棱柱的体积和表面积，属综合基础题.14在中，边BC上的中线，则_，的面积为_【答案】 【解析】借助向量的数量工具，求得，由余弦定理即可求得，由面积公式求得三角形面积即可.【详解】设，容易知，故可得，代值可得，解得.由余弦定理可得；由，可
9、得.故可得三角形面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用三角形面积公式的求解，以及利用向量和余弦定理解三角形，属综合中档题.三、填空题15现有红、黄、白三种颜色的小球（形状、大小完全相同）5个，每种颜色至多2个小球，若将这5个小球排成一排，要求中间位置不放白球，且同种颜色的小球不相邻，则共有_种排法【答案】24【解析】中间位置必须为黄球或红球，考虑中间位置的颜色有1个球，或2个球，分类讨论即可.【详解】根据题意，中间位置的颜色有2种可能，即红球或黄球.若中间位置的小球颜色是红球或黄球，满足题意的排列个数相同.考虑中间位置是红球即可.此时，若红球个数总共只有1个，则有种排法；若红球个数总共有个
10、，则有种排法；故所有的排法有：种.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合问题的求解，涉及分类讨论，属综合中档题.16若关于x的不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】或【解析】将绝对值不等式等价转化，利用绝对值三角不等式即可求得关于的不等式即可.【详解】所以，解得或故答案为：或.【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立求参数范围的问题，涉及绝对值三角不等式的利用，属中档题.17已知点F，A分别为椭圆的左焦点和右顶点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】计算出直角三角形的三条边长，即可求得的内切圆半径，整理可得的齐次式，即可求得椭圆的离心率.【详
11、解】由题意可知，为直角三角形，所以因为的内切圆半径，所以，即，化简得，解得（取正）故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，问题的关键在于齐次式的建立，属综合中档题.四、解答题18已知函数（I）求的值；（）求在区间上的取值范围【答案】（I）2（）【解析】（I）根据特殊角的正余弦，代值计算即可求得结果；（）利用正余弦的和角公式和倍角公式，将函数化简为标准正弦型三角函数，用整体法求函数值域即可.【详解】（I），所以（）因为，所以，所以当，即时，有最大值；当，即时，有最小值-1故在区间上的取值范围为.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简的解析式，以及三角函数值域的求解，属综合基础题.19如图，已
12、知四棱锥P-ABCD，（I）求证：；（）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值【答案】（I）证明见解析（）【解析】（I）通过证明平面，即可由线面垂直推证出线线垂直；（）根据，求得点到平面的距离，结合长度，即可容易求得线面角的正弦值.【详解】（I）证明：中，所以在中，所以，所以又因为，所以所以平面PAD，所以（）过点P作交AD延长线于E，连结CE，PE由（I）可知，平面PAD，所以，则平面PAD因为，所以，所以另一方面，因为，所以平面PEC，故，所以，从而设点D到平面PBC的距离h，则，所以设直线PD与平面PBC所成的角为，则【点睛】本题考查通过线面垂直推证线线垂直，用等体积法求点到面的距离，以
13、及线面角的求解，属综合中档题.20已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项（I）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前n项和【答案】（I）（）【解析】（I）利用基本量列出方程，求得首项和公比，即可求得通项公式；（）利用累加法即可求得，结合（I）中所求，即可求得，求得该数列的正项和负项，即可利用等差数列和等比数列前项和公式求得结果.【详解】（I）因为是的等差中项，所以又因为，所以，解得从而设等比数列的公比为，则，解得，（舍去）所以（）当时，由知于是，所以设，则，所以，所以，当时，即，当时，即所以当时，；当时，所以当时，当时，所以【点睛】本题考查通过基本量求数列的通项公式，利用累加法求通项公式，以及利用公式求等差和等比数列的前项和，属综合中档题.21已知曲线和曲线交于A，B两点（点A在第二象限）过A作斜率为的直线交曲线M于点C（不同于点A），过点作斜率为的直线交曲线于E，F两点，且（I）求的取值范围；（）设的面积为S，求的最大值
