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1、北京航空航天大学研究生课程试卷 B20142015 学年 第一学期期末试卷答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2015年1月13日考试科目：应用数理统计（B层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1设是来自正态总体的简单样本，则 时，统计量服从分布。2. 设是来自正态总体的简单样本，用估计，则均方误差 。3设总体的密度函数为，其中，是来自总体简单样本，则的矩估计 或 。 4在双因素方差分析中，总离差平方和的分解式为 其中，则的自由度是 或，其中 。二、（本题12分）设总体的密度函数为，其中，是来自总体的简单样本。（1）求的极大似然估计；（2）求的一致最小方差无偏估计；（3）问的一致最小方差无偏
2、估计是否为有效估计？证明你的结论。解（1）似然函数为对数似然函数为求导，有令，可得的极大似然估计为。（2）因为令，由于的值域有内点，由定理2.2.4知是完全充分统计量。而所以因而既是完全充分统计量的函数，又是的无偏估计，由定理2.2.5知是一致最小方差无偏估计。（3）由于，而所以。又因为当时，所以从而，即信息不等式等号成立，故是的有效估计。 三、（本题12分）设是来自正态总体的简单样本，其中是已知常数，是未知参数。考虑假设检验问题（1）求显著性水平下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。解：（1）当时，的极大似然估计为似然比统计量为令，则即由于的最小值是，所以当成立远离时拒绝，即拒绝，只有
3、在时才能获得，因而有又由于成立时，服从，因此。故似然比检验的统计量可取为，拒绝域为。（2）二类错误的概率为，四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子外，还需考察交互作用，。今选用表，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越小越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 列号试验号 1 2 3 4 5 6 7实验数据123456781 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21.020.781.060.941.121.16 0.850.973.84.083.624.054.214.053.974.13.824.283.853.693.853.930.30.260.660.20.520.20.04因素影响主次，；，；最优方案 1.82 2.281.822.081.72 1.972.13五、（本题10分）随机向量的相关系数矩阵（1）根据主成分的选取标准，若只选取一个主成分，求满足的条件。 （2）试求第一主成分。解：（1）求特征根令，可得，。 若只选取一个主成分，只要，即。（2）求解齐次线性方程组可获得对应于特征值的单位特征向量为，则第一主成分为。- 6 -
