《第二章 Langevin方程与数值模拟(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 Langevin方程与数值模拟(1)（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 第二章第二章 LangevinLangevin 方程与数值模拟方程与数值模拟 问题 系统的作用量或 Hamiltonian 量为 S 平衡态分布为 S e 这里温度已吸收到 S 假设系统0 t时处于一初始状态 系统如何演化至平衡态 如果初始状态不是平衡态 这便是一个驰豫动力学过程 如果初始状态是平衡态 这是平衡态的动力学涨落问题 第一节第一节 单自由度的单自由度的 LangevinLangevin 方程和方程和 FokFokkerker PlanckPlanck 方程方程 实数 xxSS Langevin 方程 t x xS dt tdx 02ttttt 高斯随机数 对固定t
2、P 2 e 2 2 0 1 edZ ed Z t 这里的 t 通常也是介观时间 如果没有随机力 平衡态为 0 dx tS x dtx 即能量取极小值 如果存在随机力 体系会被推离能量极小 处于某种能量较高的平衡 态 学 海 无 涯 例如 布朗运动 花粉在液体中的运动 0 ttv dt vd m 一维解 0 1 0 t ttt mm v tetdtve m 2 2 22 2 0 0 tt ttt mm tt vtveedt dt m 22 2 2 0 2 0 tt tt mm veedt m 如 22 2 1 001 tt mm vee m 如 2 2 0 t m 这便是随机行走 在布朗运动的方
3、程中加入自身的相互作用 dvS v tmt dtx 可以理解为广义的 Langevin 方程 设想这一方程是真正的微观运动 方程 对时间做某种介观的平均 常常加速度的项可以忽略 由于随机力的存在 Langevin 方程有他的复杂性 因为我们必须 考虑对随机力平均带来的奇异性 为了简单起见 我们对 时间分立化 在数值模拟中应用 较直观 tt t tt 2 tt tt t t 0 1 Z 2 1 2 1ln Z 学 海 无 涯 4 t Langevin 方程 S x t x tx ttx tttt x 令 2 t t t tt ttt tx txS tx 2 方程的解 tx 是随机变量 在数值模拟
4、中给定初始值 txx 0 还 不确定 与随机力有关 也就是说 在 t 时刻 x 遵从一个分布 P x t 物理量 x 的平均值 xtdx P x tx 时刻遵从的分布在是txtxP 问题 xt 的含义 答 必须对 t 之前的所有随机力做平均 2 2 2 2 1 tx tx tx tx tx tx txtx 2 2 2 2 2 1 2 ttt tx txS tx tx ttt tx txS tx tx 学 海 无 涯 以及更早的随机力有关只与无关 与ttttx t tx txS tx tx tx tx tx 0 t 又 2 2 2tttx 2 2 xx S xt tx txP x txP x S
5、 xx xdx xx S x txPdx 2 2 2 2 还作用于分步积分 这里做分步积分时 假设0 tP 另一方面 t txP xdx t tx Fokker Planck 方程 0 t txP t x xS xx H txPH t txP FP FP 当 0 xPHFP 学 海 无 涯 显然 xP xS e 思考题 试讨论 xS e 为平衡态的条件 第二节第二节 多自由度的多自由度的 LangevinLangevin 方程和自由场方程和自由场 xSS 这里x是空间指标 ttxxtxtx tx tx tx txS dt txd 2 0 时空分立化 2 0 j iiii i iiji jt t
6、 St ttttttt t ttt iii dPt 2 2 1 2 ijij jij jjjj S tt 2 i iiii S dPt t 2 i iiii S dPt i FPi Pt HPt t 学 海 无 涯 i iii FP S S H 不仅仅作用于注意 P S e 关于 Kernel 0 2 ttjiji i j jii Ktt ttt S Kt 练习 推导 F P 方程 证明平衡态为 S e 自由场 ttxxtxtx txtxm dt txd mdxS 2 0 2 1 2 1 22 22 2 0 动量变换 xpi xpi ex ex 4 4 2 1 2 1 22 p tpmp tp
7、 t 2222 2222 0 22 0 22 0 0 t pmt tpmt t pmt tpmt p tep tdtpe dp t pmep tdtpep t dt pmp tp t 学 海 无 涯 关于 Kernel 的作用 tpKtpmpKtp 22 2222 0 0 t K pmt tK pmt p tep tdtpe Kernel 不改变平衡态 但可以改变动力学演化过程 e g 如 22 mp 0 演化极慢 我们可取 22 1 Kpm 则 0 0 t t tt p tep tdtpe 这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题 称为 Fourier 加速法 但在有相互作用时 如何选
8、取K可以达到 加速 的目的 是重合悬而未决的问题 第三节第三节 LangevinLangevin 方程的路径积分表述方程的路径积分表述 tx S tx 生成泛函 1 4 J J J xt Zede A Bdx dt A x t B x t dAdA x t 对JZJ求的微商 可以得到任何物理量的平均值 恒等式 学 海 无 涯 1 det x t S d S d AA x t 0 det 为积分变换 对单自由度 如果 0 xyxf 只有唯一解 xyxfdx 1 这恒等式对任意y成立 作积分变换 yxx xyxf yd xd dy 1 在积分号内 y 是 x 的任意函数 但积分后 由于 函数的作
9、用 y 取 0 xyxf 的解 关 键 令 则 积 分 后 为 Langevin 方 程 的 解 i e tx det J J S ede 由于 函数的存在 这里的 可以看成和 无关 学 海 无 涯 2 1 4 1 4 2 det det J J S J S Zdde de AA A 引入辅助场玻色场 tx 费米场 txctxc 2 2 2 HJ J t Zdde SS Hcc 第四节第四节 复复 LangevinLangevin 方程方程 xSixSxSxS Ir 为复数 自然延拓 yixZx 到 t Z ZS dt tdZ 注意 t 保持为实数 问题 这样的 Langevin 方程是否给出
10、平衡态分布 S e 引入复分布 txPC 令 xtxPdxtZ C 注意 这里x为实数 形式上不难推导 x S H txPHtxP xxFP CFPCt 假设当 0 txPt Ct 练 习 学 海 无 涯 似乎也有平衡态 xP C xS e 作相似变换 txPetxP C xS C 2 x S x S x S ee e x S e eHeH txPHtxP xx x xS x xS xS xx xS xS FP xS FP CFPCt 2 1 2 1 2 1 22 22 22 则 注意 在类似于量子力学的框架下 定义内积 f x g xdx fx g x 则 x i x i t x t x 对
11、比 假设 xS为实函数 则 x S x S H x t xFP 2 1 2 1 FP H 为正定算符 设 nnnFP EH 2 00 0 xS eE 假设 FP H 的基态没简并 n E 0 n 0 学 海 无 涯 2 0 1 2 0 xS t n tE nn xS ea eaeatxP n 则 xS t etxP 但是 如果 xS为复函数 FP H 失去正定性 n E可以小于零 情形变得不确定 第五节第五节 动力学临界现象和临界慢化动力学临界现象和临界慢化 设 S描述的平衡态处于二级相变点 临界点 附近 Langevin 方程 S dt d 描写的动力学行为是一种动力学临界现象 当然 也存在
12、没有平衡态的动力学临界系统 即动力学二级相变 系统 更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等 动力学临界 现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式 例如 定义 k x dk k tx L tM 1 假设t足够大 二 三十年前人们便发现 1 btbMbtM Zkkk TcTcT Tc 为相变温度 z 称之为动力学临界指数 b 任意标度因子 学 海 无 涯 动力学标度形式代表一种自相似性 这一自相似性具有普遍意义 例 1 btbMbtM zv 把 t的单位 恰当 地改一下 后果只是把 M 的单位改一下 相似性 令 z tb 1 zz tMttM 1 1 除了一个相似因子 tMt z 只与
13、z t 1 有关 平衡态 的空间关联长度 所以 1 1 1 1 1 zz z tt t 所以 z t 1 应 当代表一空间标度 事实上 它是 t 时刻的空间关联长度 1 11 btbMbtM z 空间单位的改变 仅导致 M 的单位的改变 动力学标度形式可用重整化群方法导出 而且可以推广重有限尺 度体系 11 kkkz MtLbMbt bbL Lt 足够大 足够小 但是 重整化群方法的结果只能与实验或准确结果定性比较 当 然 我们可以数值求解Langevin方程 但运算量太大 特别是当0 t 时 由t 引起的误差难以控制 一般相信 Monte Carlo 动力学和 Langevin 动力学处于同
14、一普适类 MC 模拟可以给出较好的定量结 果 但是 MC 模拟仍受临界慢化的困扰 时间关联函数 学 海 无 涯 ttxtx L tC x d 1 t t e t足够大 包括随机力平均和对 t平均 t t 称之为关联时间 L t z 当 0 t 标度形式的物理基础 0 t z L 当 L t z L 临界慢化 无法获得独立的自旋构形 这不仅仅困扰动力学 MC 模型 而 且困扰平衡态 MC 模型 这称之为临界慢化 设 L 1 2 btbCbtC z 假设 t t C te 当然 tt 1 1 Z t btb Z C bt be 显然 指数上的 b 的因子必须自身抵消掉 1 bb t z t z z
15、 z z bb 1 为什么 t 0 Z L 传统的测量Z的方法 2 1 2 1 2 1 22 1 lnln L L L L Z L L l L t t Z Z t 思 考 题 学 海 无 涯 两难境地 要测准Z 需要大L 但当L大 临界慢化 第六节第六节 Ising 模型的模型的 Monte Carlo 模拟模拟 Ising model 1 1 i jii iji SShSSKHH Tk H称之为哈密顿量 代表能量 i S置于格点上 例如正方格点 h为外磁场 i S 对0 h 随机状态 0 H 有序状态 HSi1 极小 当体系和大热源接触达到 平衡 时 遵从正则分布 H e 物理量的平均值 i
16、 S H e Z 1 i S H eZ 归一化常数 配分函数 对 MC 模拟 H e Z 1 可以给予概率分布的意义 引入恰当随机 过程 产生一系列自旋构形 NN i N iii qeqe SSSS 10 学 海 无 涯 当 qe N足够大时 NN i N i qeqe SS 1 遵从 H e Z 1 分布 N n nN ii qe S N S 1 1 例 LS L S i ii 2 1 格点尺度 关键 构造算法 各态历经 细致平衡 单自旋翻转法 每次只试图改变一个自旋的值 称迭代 顺序扫描法 按规则依次迭代点阵上所有自旋 Heat bath algorithm 选定 i S 取 1 1 i EE E i EE E ii S ee e S ee e SSW 注意 这一算法的跃迁概率与 i S的值无关 这与 Metropolis 的方法不同 1 i SE 是的能量 1 i SE 是的能量 学 海 无 涯 由于每次只迭代一个自旋 与 i S无关的自旋的能量不必计算 设0 h ij jiS SSKE i i S ij j SKE ij j SKE 各态历经是显然的 细致平衡 1
