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1、学 海 无 涯 摘摘 要要 本文首先介绍 Banach 空间中的不动点定理 在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维 推广形式 在一般完备度量空间上的推广形式 其次 通过分析近几年全国各地高考数学卷 中一些试题特点 总结了利用不动点定理求解有关数列的问题 其中包括数列通项 数列 的有界性问题 最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及 收敛性方面的应用 关键词关键词 Banach 不动点定理 数列通项 有界性 单调性 收敛性 Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach spa
2、ce the extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space Then we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country
3、recent years including the problem of general term and boundedness of a sequence of number At last attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number Keywords Banach fixed point the
4、orem Sequence Boundedness Monotonicity Convergence 学 海 无 涯 目目 录录 7 8 9 学 海 无 涯 第第 1 章章 绪论绪论 1 11 1 导论导论 不动点理论的研究兴起于 20 世纪初 荷兰数学家布劳维在 1909 年创立了不动点 理论 1 在此基础上 不动点定理有了进一步的发展 并产生了用迭代法求不动 点的迭代思想 美国数学家莱布尼茨在 1923 年发现了更为深刻的不动点理论 称为莱布尼茨不动点理论 2 1927 年 丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题 并提出了尼尔森数的概念 3 我国数学家江泽涵 姜伯驹 石根华等人则大大推 广了可
5、计算尼森数的情形 并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理 4 不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体 5 上的映射 不动点理论 的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射 而考察一般的距离空间 或线性拓扑空间上的不动点问题 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫 Bananch 6 他于 1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想 并给出了 Banach 不动点定理 6 这一定理有着及其广泛的应用 像代数方程 微分方程 积分方 程 隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论 1 1 1 选题背景选题背景 不动点定理在微分方程 函数方程 动力系统理论等中有极为广泛的应用
6、函数的 不动点 理论虽然不是中学教材的必修内容 但是它的存在确实使一些数 学问题在无法想象中得到了解决 已知递推公式求其数列通项 数列有界性 数 列的单调性及收敛性等 历来是高考的重点和热点题型 对那些已知递推关系但 又难求通项的数列综合问题 充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点 和关键 因此 它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一 尤其 在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁 1 1 2 选题意义选题意义 利用 不动点 法巧解高考题 递推公式求数列的通项 证明数列的有界性 数列的单调性及收敛性等 历来是高考的重点和热点题型 那些已知递推关系但 又难求通项的数列综合问题 充
7、分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点 和关键 与递推关系对应的函数的 不动点 决定着递推数列的增减情况 因此本 文对函数 不动点 问题的研究结果 来简化求数列的通项公式 数列的有界性 数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义 学 海 无 涯 1 1 3 课题研究内容课题研究内容 本文通过介绍不动点定理的证明 不动点定理的迭代思想和不动点定理的推 论 研究了以下的内容 利用不动点定理的迭代思想 简化求递推数列的通项问题 以不动点定理为指导思想 证明数列的有界性 利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性 并借此解决一 些高考题 1 2 研究现状研究现状 不动点理论一直是一个
8、既比较古老的问题 又比较有新生命力的领域 它的 历史悠久 却又是近现代一个发展较快的理论定理 自不动点理论问世以来 特 别是最近的二三十年来 由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力 这门 学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展 不断有新的不动点理论研究成 果涌现 并日臻完善 不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一 它依据于著名的巴拿赫 Banach 压缩映射定理 如今已广泛应用于数学分析的各个方面 许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献 例如 荷兰数学 家布劳威尔在 1910 年发表的 关于流形的映射 2 一文中就证明了经典的不动 点定理的一维形式 即 设连续函数 f
9、 x f x把单位闭区间 0 1 映到 0 1 0 1 中 则有 0 0 1 x 使 00 f xx 波利亚曾经说过 在问题解决中 如果你不能 解答所提的问题 那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题 不动点 就是一个有效的可供选择的辅助问题 近年来 有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题 将拓扑学不动点 定理的一些基本思想 采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中 去 扩大中学生的知识领域 加深中学生对数学基础知识的掌握 在中学中 不 动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题 例如以 不动点 为载体 将函数 数列 不等式 方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题
10、从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的 1 3 本章小结本章小结 本章介绍了选题的背景和意义 并对课题的要求和研究内容作了分析 对不 动点定理的现况作了概要性的说明 是不动点定理及其应用的前期研究基础 学 海 无 涯 第第 2 章章 不动点定理不动点定理 2 1 有关概念有关概念 函数的不动点 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点 即函数 f x的取值过程中 如果有 0 x 使 0 f xx 就称 0 x为 f x的一个不动点 对此定义 有两方面的理解 代数意义 若方程 00 f xx 有实数根 0 x 则 00 xxf 有不动点 0 x 几何意义 若函数 xfy
11、 与xy 有交点 00 yx 则 0 x为 yf x 的不 动点 为了介绍不动点的一般概念 本文先介绍以下相关概念 定义定义1 7 度量空间 设X是一个集合 RXX 如果对于任何Xzyx 有 正定性 0 x y 并且 0 x y 当且仅当yx 对称性 x yy x 三角不等式 x zx yy z 则称 是集合X的一个度量 偶对 X是一个度量空间 定义定义2 7 压缩映射 给定 X如果对于映射T XX 存在常数K 10 K使得 Tx TyKx y x yX 则称T是一个压缩映射 定义定义3 7 Cauchy 列 给定 X n xX 若对任取的0 有自然数N使对 Nnm 都成立 mn xx 则称序
12、列 n x是Cauchy列 定义定义4 7 完备度量空间 给定 X 若X中任一Cauchy 列都收敛 则称它是完备的 定义定义5 8 不动点 给定度量空间 T 及XX 的映射T如果存在Xx 使 xTx 则称 x为映射T的不动点 定义定义6 9 凸集 设X是维欧式空间的一点集 若任意的两点 XxXx 21 的连线上的 所有的点 10 1 21 Xxx 则称X为凸集 2 2 不动点定理和几种推广形式不动点定理和几种推广形式 不动点理论是关于方程的一种一般理论 数学里到处要解方程 诸如代数方程 微分方 程 函数方程等 种类繁多 形式各异 但是它们常能改写成 f xx 的形状这里的x是 学 海 无 涯
13、 某个适当的空间X中的点 f是X到X的一个映射 把每个x移到 f x 方程 f xx 的 解恰好就是在f这个映射下被留在原地不动的点 故称不动点 于是解方程的问题就是化 成了找不动点的这个几何问题 不动点理论就是研究不动点的有无 个数性质与方法 首先 本文介绍Banach 不动点定理的证明 定理定理l Banach 不动点定理 压缩映射原理 10 设 X 是一个完备的度量空间 T是 X 到其自身的一个压缩映射 则T在X中存在惟一的不动点 证明证明 首先 证明T存在不动点 取定Xx 0 以递推形式 nn Txx 1 确定一序列 n x是Cauchy 列 事实上 由 11112 2 1210 mm
14、mmmmmm m mm xxTxTxKxxKTxTx KxxKx x 任取自然数nm 不妨设nm 那么 11 1110 1010 1 11 mmn mnmmnn n mm m xxxxxxKKKx x KK Kx xx x KK 从而知 n x 是一Canchy 列 故存在Xx 使 xxn 且 x是T的不动点 因为 1 nnnn x Txx xx Txx xKxxn 故 0 x Tx 即 xTx 所以 x是T的不动点 其次 下证不动点的惟一性 设T有两个不动点 1 x x 那么由 xTx 及 1 1 xTx 有 111 x xTx TxKx x 设 1 xx 则 1 0 xx 得到矛盾 从而
15、1 xx 唯一性证毕 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广 1927年Schauder证明了下面不 动点定理 我们称其为Sehauder不动点定理I 定理定理2 设E是Banach空间 X为E中非空紧凸集 XXf 是连续 自映射 则f在X中必有不动点 Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射 即对任意Xx xf是紧的 这时映射的定义域可不必是紧集 甚至不必是闭集 有下面定理 我们称其 学 海 无 涯 为Schauder不动点定理II 定理定理3 设E是Banach空间 X为E中非空凸集 XXf 是紧的连续自映射 则f在 X中必有不动点 定义定义6 设
16、E是线性拓扑空间 如果E中存在由凸集组成的零邻域基 则称E是局部凸 的线性拓扑空间 简称局部凸空间 1935年 Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间 得到了 下面的不动点定理 我们称其为Tyehonoff不动点定理 定理定理4 设E是局部凸线性拓扑空间 X是其中的非空紧凸集 XXf 是连续自映 射 则f必有不动点 即存在Xx 0 使得 00 f xx 1950年 Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面 的定理 我们称其为Sehauder Tychonoff不动点定理 定理定理5 设E是局部凸线性拓扑空间 X是其中的非空凸集 XXf 是紧连续自映 射 则f必有不动点 即存在Xx 0 使得 00 f xx 从20世纪30年代起 人们开始关注集值映射的不动点问题 所谓集值映射的不动点 定义如下 定义定义7 设X是拓扑空间 X XT2 是集值映射 其中 X 2表示X的所有非空子集的 集合 若存在Xx 0 使 00 xT x 则称 0 x是T的不动点 1941年 kllcIltani把Bmuwer不
