两种摩擦本构关系的对比研究

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1、 第 21卷 第 2期 1999年 6 月 地震地质 SEISMOLOGY AND GEOLOGY Vol 21 No 2 June 1999 两种摩擦本构关系的对比研究 何昌荣 中国地震局地质研究所 北京 100029 摘 要 目前有两种最常用的岩石摩擦本构关系 其主要区别在于是否与静接触时间有关 对这两种本构关系的基本性质进行了对比研究 得出如下结论 1 在匀速滑动的稳态附近 两种本 构关系趋向一致 2 在正应力恒定条件下 两种本构关系的主要差异在于克服摩擦力所需能量的大 小 与静接触时间相关的本构关系在粘滑中需消耗较大的能量来克服摩擦阻力 在粘滑的减速段 这种本构关系可达到的最低速率比另

2、一种本构关系低 10 个数量级 3 在正应力变化条件下 与静 接触时间相关的本构关系基本继承了正应力恒定条件下的行为特征 而另一种本构关系在剪应力 速度相平面上却出现了一个长尾巴 使最低滑动速率降到比正应力恒定时的值低 10 多个数量级 主题词 摩擦特性 数值模拟 粘滑 1 引言 在分析断层活动以及与摩擦有关的岩石破裂问题时 摩擦本构关系具有重要意义 以实验 中国地震局地质研究所论著 99B0013 结 果为基础的速度及状态依赖性摩擦本构关系主要有两种模型 Ruina 1983 一为与静接触 时间无关的本构关系 在正应力恒定时它的表达式为 S L R aRln V V RW 1a dW dt

3、V DC W bln V V 1b 其中 W为状态变量 R 为正应力 V 为速度 V 为参照速度 L 为与该参照速度相对应的摩擦 系数 a b 均为反映速度依赖性强弱的参数 DC则为状态演化的特征滑动距离 这一本构关系 可以很好地描述稳态滑动时的速度依赖性及其在速率变化时的本构行为 但是从 1b 可知 当速率 V 0 时 dW dt 0 因此在摩擦面静接触时状态不产生变化 这是这一本构关系的缺 点 以下称这种本构关系为 Ruina Dieterich 本构关系 另一种本构关系是基于 Dieterich 1979 的平均接触时间概念及其初步模型加以改进后 提出的本构方程 Ruina 1983 在

4、正应力恒定条件下它的表达式为 S L R aRln V V bRln H H 2a dH dt 1 H V DC 2b 其中 H为状态变量 同样 H 为参照速度时状态变量的稳态值 从 2b 可知 甚至当 V 0 时 状态变量也会自行演化 并随时间线性增长 由于稳态滑动时 H DC V 因此这种状态变量也 是度量缓慢程度的量 所以方程 2 也称为 缓慢度 slowness 本构方程 这两种本构关系虽然具有上述区别 但在以下几点具有共性 1 稳态滑动时的摩擦强度 滑动速度关系一致 2 在稳定性判别中重要的线性稳定性分析结果一致 Ruina 1983 3 甚 至可以同时解释实验中停顿时间对最大强度的

5、影响 Ruina 1983 Beeler et al 1994 由于这些共性以及方程 1 在数学上具有易于处理的特点 过去的研究主要集中在前一种 本构关系上 并对其进行了全面的分析 包括线性稳定性 Rice et al 1983 Gu et al 1984 准静态行为模拟 Ruina 1983 非线性稳定性分析 Gu et al 1984 全动态过程分析 Rice et al 1986 应力降 粘滑活动周期规律分析 Gu et al 1991 等 然而 最近的一项研究表 明 对这两种本构关系是否可以产生自愈合脉冲的分析得出了截然相反的结果 Perrin et al 1995 即具有时间硬化性质

6、的第二种本构关系可产生自愈合脉冲 而第一种则不能产生这种 脉冲 这说明 存在于两种本构关系之间的区别可能会在实际应用中导致更多的差异 从而在 理论的应用上引起混乱 鉴于此 本研究对上述两种本构方程进行较全面的比较 并着力于后 一种本构关系的全动态解析 进而指出两种本构关系在全动态过程中的差异 最后将全动态解 析扩展到变正应力的情况 2 基本性质比较 2 1 等速运动条件下的演化特征 2 1 1 Ruina Dieterich 本构关系 考察从某一点开始 速度从参照值跳跃至 V 的情况下状态的演化 将 1b 从始点 t 0 W W 0 进行积分求解 选择从W W 0 是为了结果更简洁 但并不失去

7、一般性 结果如下 W bln V V bln V V e D DC 3a 其中 D为以始点为基准的相对滑动距离 由此可知 状态变量的演化是以指数衰减的形式出现 的 其中特征滑动距离 DC控制着对以前状态的记忆消退 由 1a 可知 状态演化对摩擦应力的贡献 以下用 SW表示 如下 SW RW bRln V V bRln V V e D DC 3b 也就是说 摩擦力随位移的演化也是指数衰减 2 1 2 缓慢度 slowness 本构模型 公式 2 同样 将 2b 从始点 t 0 H H D C V 进行积分求解 结果如下 H DC V DC V DC V e D DC 4a 即 H也是随滑动距离而

8、指数衰减的 而状态变量的演化对摩擦应力的贡献 用 SH表示 如下 SH bRln V V bRln 1 V V 1 e D DC 4b 首先考察一下 V 与 V 很接近 即 V V 在 1 附近的情况 由于在此情况下 4b 中的 V V 1 exp D DC 很小 运用近似公式 ln 1 x x x n 1 可得 ln 1 V V 1 e D DC V V 1 e D DC 再次运用ln 1 x x x n 1 可得 ln 1 V V 1 e D DC ln V V e D DC 138 地 震 地 质21卷 图 1 匀速滑动条件下两种本构关系下剪应力 的衰减特性对比 Fig 1 Compar

9、ison between stress evolutions of the two constitutive friction laws under condition of constant sliding rate 通过两次近似结果可将 4b 近似地表述为 SH bRln V V bRln V V e D DC 4c 这一近似公式与 3b 的一致性表明 两种本构 关系在速度变化不大的情况下其应力演化的过 程趋向一致 由于线性稳定性分析正是稳态附 近的微变分析 因此这种一致性趋向必然导致 线性稳定性分析结果的一致性 Ruina 1983 当速度变化较大时 将 3b 及 4b 绘于图 1 来

10、进行直观比较 由图可知 当 V V 2 时 两种 本构关系仍然很相近 基本上为指数衰减 而当 V V 很大时 缓慢度本构关系的应力衰减大 大慢于指数衰减 以V V 200 为例 当衰减 为总量的 1 e 时需要大约 3 5DC的距离 由此可以预测 在进入高速的动态运动时 两种本构 关系的表现可能会有大的差别 图 2 单自由度弹簧 滑块系统 Fig 2 Single degree of freedom spring block system 2 2 弹簧 滑块系统下的全动态过程比较 考虑一个单自由度系统 图 2 当弹簧 滑块系统质量为 m 刚度为 k 时 其运动方程为 m d 2D dt 2 k

11、 D0 D S 5 其中 D0为加载点位移 为了减少参数 可用 T 2P 2 替代 m k 其中 T 为系统的自由振动周 期 它是系统的特征时间常数 这样只要设定 T 就可以把握系统在动态过程中的时间特征 无 需对m 和 k 两参数分别设置 对由公式 1a 1b 5 组成的方程组进行数值积分求解 可以得到 Ruina Dieterich 本 构公式下的动态计算结果 同样 对公式 2a 2b 5 组成的方程组进行积分求解可得到缓 慢度本构方程的动态解 为了比较两种本构关系在动态过程中的差异 在下列刚度条件下进行 计算 k kcr 其中 kcr b a R DC为在准静态条件下划分稳定与不稳定边界

12、的临界刚度 Ruina 1983 计算从 V V 的稳态滑动开始 并在始点给加载点速率V 0 V 0 dD 0 dt 施以台阶式跳跃至V0 2V 以引起从稳态的偏离 并导致失稳而最终进入周期性粘滑 非线性动力学中也称为极 限环 为一种吸引子 这样就可以比较在完全同一条件下两种本构关系的差异 具体计算方 法参见 He 等 1997 计算中对一些变量进行 了如下无量纲化处理 S S aR k kDC aR D D DC V V DC 其中 表示无量纲化后的变量 这样 就可以相 对地设置一些参数的值如 b a V DC等来进 行无量纲计算 参数设置如表 1所示 若取 D C 81mm 则 V 3cm

13、 a 首先 将 139 2期何昌荣 两种摩擦本构关系的对比研究 表 1 参数设置 T able 1 Parameters set in calculation b a k kcr T sV DC s 1 20 851 17 10 8 这两个计算结果中的应力 位移曲线进行比较 图 3 由图可知 缓慢度本构下的应力在下降 很大一部分之后才开始进入惯性运动 而 Ru ina Dieterich 本构关系则在应力下降很小一部 分之后就开始了这种动态滑动 这样 缓慢度本 构关系的粘滑应力 位移曲线在加速段和减速段呈不对称状 图 4 为两种本构关系下与图 3对 应的应力 速度相平面图 图 4a 为 Rui

14、na Dieterich 本构关系的结果 Rice 和 T se 1986 对这 个结果已有很详尽的描述 但是为了比较 这里再重述一下这一平面图的特点 在惯性运动的 初始阶段 即加速阶段 系统很快向着当前速度的稳态值演化 线 A B 然后在最高速率附近 图 3 等正应力条件下两种本构关系的粘滑应力 滑动位移关系对比 Fig 3 Plot of stress versus slip distance of stick slip motion under constant normal stress condition Dotted lines show the stress on the spr

15、ing a Ruina Dieerich 本构关系 b 缓慢度本构关系 图 4 等正应力条件下两种本构关系的相平面图对比 Fig 4 Plot of stress versus logarithm of velocity in the stick slip motion Dotted lines show the steady state line and dash lines show the constant state curves 其中点线为稳态线 虚线为等状态线 a Ruina Dieerich 本构关系 b 缓慢度本构关系 140 地 震 地 质21卷 进行接近稳态的滑动 B C

16、线 然后在很小的滑动距离内进入 闭锁状态 这不是实质意义的 闭锁 即 V 0 的情况 而是惯性运动的结束 C D 线 在最后的闭锁过程中可以看到 状态变 量是冻结的 即在一条等状态线上 图 4 b 为缓慢度本构方程的相平面图 由图可知 在惯性 运动的加速段与 Ruina Dieterich 本构关系的特点基本一致 只是初始斜率相差较大 而在减 速段 即闭锁过程段 则可分为两段 即 C D 线及 D E 线 C D 线与 C D 线特征相同 而 D E 则是状态随速度变化很快的一段 此时应力基本保持恒定 而状态变量则可大致回复到 加载点速度下的相应稳态值水平 在相平面上的另一个显著差异是 Ruina Dieterich 本构关 系的最低速率只达到约 0 04V 而缓慢度本构关系的最低速率可下降到约 10 13V 二者相差 10 个数量级 这一点说明 后一种本构关系可以更接近闭锁状态 另外 在D E 段 由于剪应 力基本保持不变 则由公式 2a 可知速度和状态变量在双对数坐标中呈线性关系 并且状态的 恢复主要发生在该段 2 3 应力降与加载点速率的近似关系 在 Ruina Dieteric