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1、第24章 带余数除法241 把由1开始的自然数依次写下去，直写到第198位为止：，那么这个数被9除的余数是( ) (A)4 (B)6 (C)7 (D)非上述答案242 n为正整数，302被n(n1)除所得商数q及余数r都是正值，则r的最大值与最小值的和是( ) (A) 148 (B) 247 (C) 93 (D) 122243 把1059、1417和2312每个数各除以d，如果余数都是r，其中d是大于1的整数，那么dr等于( ) (A) 15 (B) 179 (C) dl (D) d15244 当P除以D时，商为Q，余数为R；当Q除以D时，商为Q，余数R当P除以DD时，余数为( ) (A) R
2、RD (B)RRD (C) R R (D) R245 当正整数P和P（其中PP）被正整数D除时，余数分别是R和R当PP和RR被D除时，余数分别为r和r，那么( ) (A) r r (B) r4b时求a24b除以7的余数2413 某四位自然数A被9除，得商B，余1；B被9除，得商C，余5；C被9除，得余数6又A的数值在442和452之间，求A2414 11 +22 +33 +44 +55+66 +77 +88 +99除以3的余数是几？为什么？2415 求证：如果a和b是整数，那么a、b、a2 +b2、a2b2中一定有一个能被5整除2416 整数x、y、z满足等式（xy）(yz)( zx) =x+
3、 y +z，求证：x+ y +z能被27整除2417 有40个已知的整数，其中每一个整数都不能被5整除，求证：这些数的40次方之和能被5整除2418 设a1，a2，an是自然数，它们之和能被30整除求证：a15+ a25+an5能被30整除2419 证明：若两个整数的平方和能被7整除，则这两个数中每一个都能被7整除2420 (1)求能使2n1被7整除的所有正整数n (2)试证：对任何正整数n，7 ( 2n +1)2421 在一个自然数的十进制表示法中出现数字1、3、7和9求证：交换数字后可以得到一个能被7整除的十进制数2422 若N是一个任意的自然数，求证：我们总可以找到两个四位数A和B（A、
4、B是1，9，8，4这四个数码经过适当排列得到的），使N+A与NB都是7的倍数2423 从小到大排列着的10个自然数1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干项之和是11的倍数的数组共有多少组？2424 从自然数1，2，3，1989中，最多可取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？2425 今有n个给定的整数(n1)现知，其中任何一个数同其余数的和加1的乘积皆可被所有n个数的和整除求证：所有这些数的平方和可被它们自身的和整除2426 证明：数列123，234，345，的个位上的数字周期性地重复出现2427 计算由1到109的每一个数的数字之和，得到109个
5、新数，再求每一个新数的数字之和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止那么，最后得到的数中是1多，还是2多？2428 设N是一个很大的数，N，其中有1992个7，试求N的最后两位数字2429 欧拉的一个猜想在1960年被美国数学家推翻，他们证实了有正整数n，使得1335 +1105 +845 +275=n5求n的值2430 用1、9、9、0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列nln2n3n4，试求nln2之值2431 当44444444写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而B是A的各位数字之和，求B的
6、各位数字之和（所有的数都是十进制数）2432 李明买了一本共有96页的练习本，并依次将它的各页编号（即由第1页一直编到第192页）谢清从中任意撕下了24页纸，并将写在它们上面的48个编号相加试问：他所加得的和数能否为1990?2433是否能将正整数1，2，64分别填人88的国际象棋棋盘的64个方格内，使得形如图所示（方向可以任意转置）的任意4个格内的数之和总能被5整除2434有27个国家参加一次国际会议，每个国家有两位代表求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的两位代表之间都夹有9位代表2435 已知一个角的大小为，其中n是不被3整除的正整数，求证：这个角可以用欧几里得的
7、作图法（用直尺与圆规）三等分2436 一个正整数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”比如16 =52 32，16就是一个“智慧数”在正整数列中，从1开始数起，试问：第1990个“智慧数”是哪个数？并请说明理由2437 47个整数分别除以3，余数都是1，分别除以47，所得的余数都不相同，这47个整数的和的绝对值最小为_（要求：余数是小于47的非负整数，如30除以47，余数为17；1除以47，余数为46）2438 请问：使得n2n+11有4个质因子（不必互异）的正整数n的最小值是多少？2439 已知t为正整数，若2t可以表示成ab1（其中a，b是大于1的整数），请找出满足上述条
8、件所有可能的t值2440 在12009的整数中，有多少个m使2010m2009m能被11整除？2441 （1）有三个完全相同之大容器，第一个容器内盛有3L的纯糖浆，第二个容器内盛有20L的纯水，而第三个容器则是空的可以任意选择以下之操作：1） 将某个容器中的溶液全部倒入另一个容器中；2） 将某个容器中的溶液全部倒掉；3） 任选两个容器将第三个容器中的溶液倒入其中一个容器中，使得所选这二个容器内的溶液的液面一样高 请问：（1）如何操作才能得到10L质量分数为30%的糖浆溶液？（2）承上题，若第二个容器内改为盛有n（n为正整数）L的纯水，试求可以得到10L质量分数为30%的糖浆溶液的n之所有可能值（给出所有可能的值并给出例子，同时证明没有其他的值）.24.42 图中的圆周上放置2009枚棋子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，2008，2009.首先取走2号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走2枚棋子，直到圆周上只余下2枚棋子，问：它们的编号是多少？24.43 圆周上有83个空盒，顺时针依次编号为0，1，2，3，,82，小明沿顺时针方向按如下规则向盒中放球：第一次在1号盒子中放一个；第二次隔一个盒子，在3号盒中放一个；第三次隔两个盒子，在6号中放一个；第k次向前隔个盒子，在下一个盒子中放入一个球.如此共放了2005个球.问：有球的盒子中哪个盒子中球数最少？它里面有多少个球？4
