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1、引导学生“学会学习”的平台之一：解题后的再思考摘 要：本文首先通过两个“解题后的再思考”的典型案例，引发广大老师对解题后再思考的重视，注重解题后从多途径引导学生体验从数学角度思考问题的方法，逐步养成解决问题的科学思维习惯，使他们真正懂得“学会学习”。关键词： 解题后 思考 学会学习 引导在数学学习中，许多教师不重视对例题和基本题的研究，而不重视原有问题内在潜力的挖掘、改造，对于许多好题只满足于它们的解答，缺乏深入研究，不追究问题的来源，看不清问题的本质，取而代之的是大量的题海战术来训练学生的解题能力，不怕重复，惟恐题型有遗漏。分题型、套解法、记技巧成了解题教学的法宝，而“解题后的再思考” 这一
2、促使学生形成各种能力的重要环节却没有得到应有的重视。长此以往，学生只会关心题目解决了没有，不去关心问题的答案是否正确，更不关心自己到底悟到了什么，只习惯于解决别人的问题而不会自己发现和提出问题。为了改变这种状况，笔者认为问题解决后教师应引导学生做进一步思考与探索，让学生明白“解题后再思考”的重要性并掌握“解题后再思考”的方法，使学生真正懂得“学会学习”。那么在解题后如何引导学生思考与探索呢？让我们看下面两个案例案例一：笔者前段时间听了王老师的一节课，其中的教学片段如下：出示一个截绳子的问题：有一根20米长的绳子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，如此截下去，第五天后还剩下多少米？生1：第一
3、天截去一半是10米，剩下10米；第二天剩下5米；第三天剩下2.5米；第四天剩下1.25米；第五天剩下0.625。（此题本来已解决，但王老师还进一步引导学生继续思考与探索）师：本题还有其它解法吗？生2：老师，我有不同的解法，师示意这位学生回答。可以通过寻找规律得出问题的答案。师：第n天后还剩下多少米？生2：第n天后还剩下202-n米。师：有没有与这道题相似或相近的问题？生3：一杯饮料2升，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，如此下去，第五天后还剩下的饮料是多少升？生4：面积为1m2的正方形纸片，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第五次后剩下的纸面积是多少？师：老师也编一个相类似
4、的问题：在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计下图所表示的几何图形。（1）利用这个几何图形求的值为 。王老师通过分析得出这个问题的答案是1-，然后让学生思考，这道题与前面这道题有什么联系吗？生5：有，此题就是前面这道题改为1米长的绳子截了n天，共截掉多少米是一样的。师：你能求吗？生5：能，答案就是1米长的绳子减去第n天后还剩下的绳长，即为1-。此后，教师出示第（2）小题：（2）能不能自己创造一个图形来求的值来说明此问题？学生得以下几种图形。你还可以其它的图形来解释这个问题吗？学生又得到以下几种图形。 画图后一位学生向老师提出一个问题，能否用代数的方法解决求的值？老师把这个问题抛给学
5、生。生6：设S=，则2S=1+（）- =1+S-， 化简得S=1-生7：设S=，则2S=，S=2S-S=（）-（）=1-生8：（拆项法）原式=1-师总结以上三位的方法，生6的倍增法、生7的错位相减法、生8的拆项法。师：你能用这样的方法求更一般的算式：a+aq+aq2+aq3+.+aqn（q1）的值吗？受到上题的启发学生很快得出结论 a+aq+aq2+aq3+.+aqn=。得出该结论后，又有一位学生举手说：老师，我发现一个新结论，老师示意该学生回答：可以因式分解为a(q-1)()。案例二：下面这个案例是笔者的一节习题课，其中的教学片段如下： 出示题目：在RtABC中，a、b、c为、 所对的边，其
6、中a=3,b=4,求c的值。 此时，学生几乎是异口同声地回答：c=5，师面带微笑，但不做表态，此时有学生举手了。生1：不对，如果ABC是直角三角形时，c应该是5或。（此题已解决，笔者进一步给学生思考与探索）师：如果把这个题目条件弱化，把题目改为“在ABC中，a、b、c为、 所对的边，其中a=3,b=4,求c的取值范围。”生1：1c7师：如果把这个题目条件加强，若此三角形是锐角三角形，那么你能求出c的取值范围吗？三分钟过后，一位学生举手。我就示意他回答。生2：c5，因为是锐角，所以它所对的边AB应小于是直角时所对的边AB。听了这位同学的回答，又有几位学生举手：生3：不对，应该0c5，因为边长是正
7、数。生4：老师，不对，应该是1c5，因为c的取值范围是1c7，结果应该是它们的公共解。（其他学生点头表示赞同）。生5：不对，因为也在这个范围内，由前面可知当c=时，ABC是直角三角形，至于c到底取什么范围，我也不知道。师：你很会思考，那到底错在那里呢？受到这位同学的启发，其他同学的热情就更高了，思考就更加投入了。生6：c,所以也是锐角。生8：答案是c5。若是锐角，求得1c5；若是锐角，求得c7，结果应该是它们的公共解。师：如果此三角形是钝角三角形，那你能求出c的取值范围吗？生9：按照上题的步骤求得c的取值范围是1c或5c7。生10：老师，我的方法与他不一样，因为一般三角形c的取值范围是c5；而
8、锐角三角形c的取值范围是c5；直角三角形时，c的值是5或，所以钝角三角形c的取值范围是1c或5c7。师：你能将这个题目的某些条件或结论再作些变化，编出一个新的题目。（小组讨论交流）学生经过小组讨论后，编出很多很有价值的问题。生11：如果此三角形是等腰三角形，求c的值生12：如果此三角形是直角三角形，且=。求斜边上中线？生13：如果此三角形是直角三角形，且=。求斜边上高线？ 生14：在ABC中，a、b、c为、 所对的边，a=3、b=4，=，求ABC的周长L和面积S的取值范围。 生15: ：在ABC中，a、b、c为、 所对的边，a=3、b=4，=n0,求c的值？ 几点思考：试想一下，如果这两个案例
9、不让学生进一步思考与探索，只满足于它们的解答，不追究问题的来源，看不清问题的本质，那么这两个问题并无多大意义。长此以往，学生可能只会关心题目解决了没有，不去关心问题的答案是否正确，更不关心自己到底悟到了什么，只习惯于解决别人的问题而不会自己发现和提出问题。因此，教师有必要引导学生在解题后做进一步思考与探索，使学生逐步养成解决问题的一些方法和提一些新的问题，使学生真正懂得“学会学习”。下面笔者结合两个案例就如何引导学生解题后的再思考谈些粗浅的见解，以供同行参考。1、要引导学生在“观点失真”处思考课堂探究中，学生往往因自身的主观直觉，或受思维惯性影响，而生成他们自认为正确、而实质上偏离真理的观点。
10、对此，为了发挥解题后的再思考在数学教学中的作用，教师不要急于发表观点，而采用延迟评价、暂停教学的方式，给学生留下冷场空白，留给学生充分的思考时间和空间，学生往往能够自主洞察到原先观点的缺失之处。像案例2中，学生在探究中提出了很多不全面的观点，并且有些是很常见的错误，但是教师装作糊涂，迟迟不评价，正是这样的安排给了学生思考的时机，让学生在突如其来的冷静中，引发着“思考”，才使得课堂现场的失真观点得到了自主纠正。2、要引导学生从条件中去思考对条件的思考，有以下几个切入点，如：弱化（强化）条件如何？改变条件如何？等等。（1）思考弱化（强化）条件在原题中，适当削去一些条件能使结论处于动态，而增加某些条
11、件，能使结论得到加强，提高对条件的削弱和强化往往能挖掘出较为灵活和综合的新题来。像案例2中，如果把直角三角形这一条件去掉，则从确定变为不确定，学生看到了一个动态的ABC，原来能求出的一些基本量相应地都随的变化而成为变量，能求出一些基本量的范围，如1c7、8L14、等。如果把三角形结论加强，那么使三角形动态的范围缩小或处于静止状态,像案例2中的把三角形改为锐角三角形，则c的范围就得到进一步的缩小。经常这样思考学生对问题的本质就看的一清二楚，问题解决起来就方便多了。（2）思考改变条件在案例1中，教师不断改变题目条件，让学生逐步发现的求法与等比数列求和公式和学生对的因式分解的发现。同样在案例2中，生
12、15提的问题，如果把=改为=n0时，求c的值？此时就发现公式c2=a2+b2-2abcos（余弦定理）了。经常从条件去思考，往往会产生新的问题，当学生学会自己提出问题时，便会自觉地去思考。此时学生的学习兴趣就很高。这样不仅使学生懂得数学，更使他学会了发现数学和创造数学。3、要引导学生从解题过程中去思考对解题过程思考的有以下几个切入点，如：思考解题方法、思考解题规律、思考一题多解、思考相类似的问题等等。（1）思考解题方法“习题千万道，解后抛九宵”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的思考、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广
13、度，扩大习题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。（2）思考解题规律对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，更有助于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。像案例1中，王老师通过一个简单的应用题引导学生寻找等比规律问题与等比数列求和问题，培养学生逐步养成一般问题的科学思维习惯，真正给学生留下一点终身受益的东西。（3）思考相类似的问题解题后，教师要多问几个问题，有没有与这道题目相近或相似的题目。若有，可以引导学生进行对比，分析其解法，找
14、出解答这一类题的本质性的问题，从而达到举一反三、触类旁通的目的。像案例1中，王老师讲了第一个问题后，马上让学生思考与它相类似的问题，对于求的值时，王老师又一次引导学生回答“这道题与前面这道题有什么联系吗？”。最后，用代数的方法来求出等比数列和的问题。只有经常这样，学生才能够让学生真正达到举一反三、触类旁通的目的。（4）思考一题多解一题多解是课堂中用到最多的问题之一，只可惜这句话绝大多数出自老师之口，所以教师要多引导学生从不同角度，不同层次、观察、分析、探索不同的解法，总结各种不同解法的异同，这种殊途用归的教学方法，有利于拓宽学生思路，形成知识系统，深化知识，使学生的思维向多方向发展，促使发散性
15、思维的形成与发展。像案例1中，王老师先通过数形结合的数学思想方法和实际问题来解释求的值，最后学生用代数的多种方法来求等比数列的和，在这一过程中王老师多次用一题多解来训练学生的思维能力。4、要引导学生从结论中去思考对结论的思考有很多几个切入点，如：还可以得出什么结论？结论合理吗？这个结论可以推广吗？等等。经常在解题后思考这些问题，有助于学生养成研究性学习的好习惯，对培养他们的探索精神大有好处。 （1）思考结论的推广与引伸做完一道题后引导学生通过改变原题的知识元素，围绕某一问题进行变换、引伸、拓展。让学生思考解题思路和方向是否变化？可使学生不为完成任务而做题，而是通过总结、多比较，开拓思路，把注意力放在灵活运用知识以及锻炼思维方法上，从而抑制“题海”战术，培养“同中求异”和“异中求同”的思维变通能力，有利于知识归类和归推理能力的提高。像案例1中，王老师从特殊到一般的思想方法将问题予以推广与引伸。（2）思考改变题目的结论某一问题解决后，教师可以提下面的问题：“本题还可以得出那些结论”
