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1、 2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1设集合，则中元素的个数为 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 大于3个2某次数学测试分为选择题与非选择题两部分， 右边的散点图中每个点表示一位学生在这两部分的得分，其中表示该生选择题得分，表示该生非选择题得分，设表示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根据散点图，下列判断正确的是 （ ）A的方差的中位数C的众数的众数 D的中位数=的中位数+的中位数3已知表示不超过x的最大整数，如，若是方程的实数根，则 （ ） A B C D 4已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则
2、的单调递减区间是 （ ） A B C D 5若映射，满足：且，那么的值为 （ ） A B C D6已知四边形，是的垂直平分线，垂足为，为直线外一点设向量，则的值是 （ ）A B C D 7是一个常数，函数的值域不可能是 （ ） A B C D 8若，则的大小关系为 （ ）A B C D 9求：= （ ）A B C D 10若函数有两个不同的零点，,那么在两个函数值中 （ ） A只有一个小于 B至少有一个小于 C都小于 D可能都大于二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分11已知集合，若,则实数的取值范围是 12设，则 13如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 14在标有数字的12张大
3、小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数的概率是 15在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 16某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论： 函数在上单调递增，在上单调递减；点是函数图像的一个对称中心；函数 图像关于直线对称；存在常数，使对一切实数均成立其中正确的结论是 17已知数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数的取值范围是 三、解答题：本大题共3小题，共51分18（本题满分15分） 已知向量，设函数， （1）求的单调区间； （2）若在区间上有两个不同的根，求的值19（本题满分16分）已知正实数，设， （1）当时，求的
4、取值范围； （2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围20（本题满分20分）设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件： （1）任意，有，当时，且； （2）； （3），试求：（1）证明：任意， ，都有； （2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由 （阶乘定义：）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1B 解：，得： 共2组，选B 2B 解：根据图像可知中位数为40，的中位数大概在34左右，选B3C 解：由是方程的实数根，易得令函数，则函数在上是增函数（不是严格增函数）当时，则 ， ， 当时，则
5、， ， 当时, 则 ， , 当时, 则 ， , 选C4B 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期，又，当时，取最大值，即 ，的单调递减区间为选B5B 解：由，可知若，则，与矛盾，不可能；若，则若，则与矛盾，不可能。选B6B 解： 选B7D 解：，当时，；当时，当时，; 选D8A 解：，又由，得， , 选A9A 解：=， 选A另解：（利用诱导公式配对求和）10B 解：（用特殊值来排除）令，则；令，则，选B另解：设，则， ，所以，至少有一个小于选B1112213 解， 输出14解：按被3除的余数进行分类，依次取出不同的三个数，使它们的和恰好是3的倍数的概率15解：作，为中点，则在内，面积为
6、16 解：为奇函数，则函数在 ，上单调性相同，所以错；，所以错； ，所以错；，令，所以对 选17 解：由，得： 即 设的平均数为，的平均数为，则结合方差定义 展开得：即 ，同理得： ，即 得另解：（运用柯西不等式）设的平均数为，的平均数为，则由 ，得： ，即 得18（本题满分15分）已知向量， 设函数 （1）求的单调区间； （2）若在区间上有两个不同的根，求的值解：（1）令，当时，且为减函数又在上时减函数，在上是增函数当时，且为减函数又在上时增函数，在上是减函数综上，的单调区间为， （2）由得，即令，则是方程的两个根，从而=，另解：由得，即不妨设则19（本题满分16分）已知正实数，设， （1）
7、当时，求的取值范围； （2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围解：（1）由题设知，且所以，又结合二次函数的图像知故的取值范围为另解：=， ，得的取值范围为 （2）设，则恒成立，、即， 恒成立令，由于在是增函数，令，则又 ，得的取值范围为20（本题满分20分）设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件： （1）任意，有，当时，且； （2）； （3），试求：（1）证明：任意， ，都有；（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由解：（1）当时， ，若，则得，不可能，舍去 当时，得，若，则，同理，若，任意， ，都有 （2）由（1）可得为单调减函数得相乘得： 又由式得：，相加得：，由于当时，能被25整除综上，存在正整数，当或时，是25的倍数12
