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1、 第四节 定积分在经济学上的应用 第六章 一 已知边际函数求总函数二 资金流的现值和未来值 机动目录上页下页返回结束 1 成本函数 总成本 固定成本 可变成本 平均成本 单位成本 2 收益函数 3 利润函数 利润 总收益 总成本 即L Q R Q C Q 复习 收益 价格 销量 即R Q PQ 机动目录上页下页返回结束 边际的经济意义 当时 x改变一个单位 y改变 4 边际 个单位 5 常用的边际函数 边际成本 边际收益 边际利润 机动目录上页下页返回结束 在处的边际值为 一 已知边际函数求总函数 问题 已知某边际经济函数 求该总经济量 设某个经济函数u x 的边际函数为 则有 于是 机动目录
2、上页下页返回结束 2 已知销售某产品的边际收益为 x为销售量 R 0 0 则总收益函数为 1 已知生产某产品的边际成本为 x为产量 固定成本为C 0 则总成本函数为 机动目录上页下页返回结束 3 设利润函数L x R x C x 其中x为产量 R x 是收益函数 C x 是成本函数 若L x R x C x 均可导 则边际利润为 L x R x C x 因此总利润为 机动目录上页下页返回结束 例1生产某产品的边际成本函数为 固定成本C 0 1000 求生产x个产品的总成本函数 解 例2已知边际收益为 设R 0 0 求收益函数R x 解 机动目录上页下页返回结束 例3 设某商品的边际收益为 1
3、求销售50个商品时的总收益和平均收益 2 如果已经销售了100个商品 求再销售 100个商品的总收益和平均收益 解 1 总收益函数 平均收益 机动目录上页下页返回结束 解 2 总收益为 平均收益 例3 设某商品的边际收益为 1 求销售50个商品时的总收益和平均收益 2 如果已经销售了100个商品 求再销售 100个商品的总收益和平均收益 机动目录上页下页返回结束 例4 已知生产某产品x台的边际成本为 万元 台 边际收入为 万元 台 1 若不变成本为C 0 10 万元 台 求总成本函数 总收入函数和总利润函数 2 当产量从40台增加到80台时 总成本与总收入的增量 解 1 总成本为 机动目录上页
4、下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 由于当产量为零时总收入为零 即R 0 0 于是 总收入为 总利润函数为 机动目录上页下页返回结束 万元 2 当产量从40台增加到80台时 总成本的增量为 当产量从40台增加到80台时 总收入的增量为 万元 机动目录上页下页返回结束 由变化率求总量 例5某工厂生产某商品 在时刻t的总产量变化率为 单位 小时 求由t 2到t 4这两小时的总产量 解 总产量 例6生产某产品的边际成本为 当产量由200增加到300时 需追加成本为多少 解 追加成本 机动目录上页下页返回结束 例7在某地区当消费者个人收入为x时 消费支出W x 的变化率 当个人收入由900增加到1
5、600时 消费支出增加多少 解 机动目录上页下页返回结束 设有本金A0 年利率为r 则一年后得利息A0r 本利和为 1 单利 假设在期初投资一个单位的本金 在每一时期内 都得到完全相同的利息金额 这种计息方式为单利 二 收益流的现值与未来值 机动目录上页下页返回结束 A0 A0r A0 1 r n年后所得利息nA0r 本利和为 An A0 nA0r A0 1 nr 这就是单利的本利和计算公式 第二年以第一年后的本利和A1为本金 则两年后的 2 复利 这种计息方式的基本思想是 利息收入自动被 计入下一期的本金 就像常说的 利滚利 机动目录上页下页返回结束 这就是一般复利的本利和计算公式 本利和为
6、A2 A0 1 r A0 r r A0 r 2 照 此计算 n年后应得本利和为 An A0 1 r n 资金周转过程是不断持续进行的 若一年中分n期计算 年利率仍为r 于是每期利率为r n 则一年后的本利和为 t年后本利和为At A 1 r n nt 若采取瞬时结算法 即随时生息 随时计算 也就是n 时 得t年后本利和为这就是连续复利公式 A1 A 1 r n n 因此 在年利率为r的情形下 若采用连续复利 有 1 已知现值为A0 则t年后的未来值为 2 已知未来值为At 则贴现值为 期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式 即每时 3 连续复利 每刻计算复利的方式称为连续复利 贴现值 时刻t的一
7、个货币单位在时刻0时的价值 机动目录上页下页返回结束 At A ert A Ate rt 我们知道 若以连续复利率r计息 一笔P元人民币从现在起存入银行 t年后的价值 将来值 若t年后得到B元人民币 则现在需要存入银行的金额 现值 下面先介绍收益流和收益流量的概念 若某公司的收益是连续地获得的 则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流 而收益流对时间的变化率称为收益流量 4 收益流的现值和将来值 机动目录上页下页返回结束 收益流量实际上是一种速率 一般用R t 表示 若时间t以年为单位 收益以元为单位 则收益流量的单位为 元 年 时间t一般从现在开始计算 若R t b为常数 则称该收益流具
8、有均匀收益流量 将来值 现在一定量的资金在未来某一时点上的价值 现值 将来某一时点的一定资金折合成现在的价值 俗称 本金 例如 假设银行利率为5 你现在存入银行10000块 一年以后可得本息10500元 10500为10000的将来值 而10000为10500的现值 机动目录上页下页返回结束 和单笔款项一样 收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和 而收益流的现值是这样一笔款项 若把它存入可获息的银行 将来从收益流中获得的总收益 与包括利息在内的本利和 有相同价值 在讨论连续收益流时 为简单起见 假设以连续复利率r计息 机动目录上页下页返回结束 若有一笔收益流的收益流量为R t
9、元 年 下面计算其现值及将来值 考虑从现在开始 t 0 到T年后这一时间段 利用元素法 在区间 0 T 内 任取一小区间 t t dt 在该小区间内将R t 近似看作常数 则应获得的金额近似等于R t dt 元 从现在 t 0 算起 R t dt这一金额是在t年后的将来而获得 因此在 t t dt 内 从而 总现值为 收益的现值 机动目录上页下页返回结束 在计算将来值时 收入R t dt在以后的 T t 年内获息 故在 t t dt 内 例8假设以年连续复利率r 0 1计息 1 求收益流量为100元 年的收益流在20年期间的现值和将来值 2 将来值和现值的关系如何 解释这一关系 从而 将来值为
10、 收益流的将来值 机动目录上页下页返回结束 2 显然 若在t 0时刻以现值作为一笔款项存入银行 以年连续复利率r 0 1计息 则20年中这笔单独款项的将来值为 而这正好是上述收益流在20年期间的将来值 机动目录上页下页返回结束 解 1 例9某公司投资100万元 总投资的现值已知 建成1条生产线 并于1年后取得经济效益 年收入为 设银行年利率为10 问公司多少年后收回投资30万元 收益流量 解设T年后可收回投资 投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度 因此有 即 解得T 4 055 即在投资后的4 055年内可收回投资 机动目录上页下页返回结束 一般来说 以年连续复利率r计息 则在
11、从现在起到T年后 该收益流的将来值等于将该收益流的现值 作为单笔款项存入银行T年后的将来值 例10设有一项计划现在 t 0 需要投入1000万元 投入资金的现值 在10年中每年收益为200万元 收益流量 若连续利率为5 求收益资本价值W 设购置的设备10年后完全失去价值 解 资本价值 收益流的现值 投入资金的现值 机动目录上页下页返回结束 例11某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元 每年的收益流量为10万元 求内部利率 注 内部利率是使收益价值等于成本的利率 解 由收益流的现值等于成本 得 可用近似计算得 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 设某耐用品售价100000元 首付50 余下部分 50000 分期付款 10年付清 每年付款数相同 若年贴现率为4 按连续复利计算 每年应付款多少 某一机器使用寿命为10年 如购进此机器需要55000元 如租用此机器每月租金为600元 设资金的年利率为5 按连续复利计算 问购进机器与租用机器哪一种方式合算 作业
