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1、海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 2019.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，. 若，则实数的值可以为（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，在区间上不是单调函数的是（A）（B）（C）（D）（3）已知等差数列的前项和为. 若，且，则（A）（B） （C）（D）（4）不等式成立的一个充分不必要条件是（A）（B）（C）（D）（5）如图，角以为始边，它的终边与单位
2、圆O相交于点，且点的横坐标为，则的值为（A） （B）（C） （D）（6）在四边形中， ，. 若，则（A）（B） （C） （D）（7）已知函数. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（8）设集合是集合的子集，对于，定义 给出下列三个结论：存在的两个不同子集，使得任意都满足且；任取的两个不同子集，对任意都有；任取的两个不同子集，对任意都有.其中所有正确结论的序号是（A）（B） （C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量，且，则_.（10）函数的零点个数为 . （11）已知数列的前项和，则_，_.（12）如图，网格
3、纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为 .（13）已知数列的通项公式为. 若存在，使得对任意的都成立，则的取值范围为_.（14）已知函数，其中，是这两个函数图象的交点，且不共线.当时，面积的最小值为 ；若存在是等腰直角三角形，则的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前n项和，.（）求数列的通项公式；（）若，求n的最大值.（16）（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）若对恒成立，求实数的取值范围.（17）（本小题满分13分）已知
4、函数. 曲线在点处的切线方程为.（）求，的值；（）若函数存在极大值，求的取值范围.（18）（本小题满分13分）在中，（）求的值；（）若点为射线上的一个动点（与点不重合），设. 求的取值范围； 直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得.（19）（本小题满分14分）已知函数.（）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（）求证：.（20）（本小题满分14分）已知集合，且中的元素个数大于等于. 若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.（）分别判断集合与是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，
5、写出其所有的“关联子集”；（）已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在 的“关联子集”，使得. 若，求证：是等差数列；（）若集合是“独立的”，求证：存在，使得.海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 2019.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DDCABBAA二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案610；13；说明:第11，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共8
6、0分.15解：（）在等比数列中，设公比为q.因为，所以 所以. 即 则或 因为所以所以. 因为所以 所以数列的通项公式 . （）在等比数列中，因为， 所以 因为，所以 所以. 所以 因为,所以. 即n的最大值为4. 16.解：（）因为 . 所以的最小正周期为. （）“对恒成立”等价于 “”. 因为，所以. 当，即时，的最大值为. 所以，所以实数的取值范围为. 17解：（）， 因为在点处的切线方程为，所以 解得 （）， 当时，不存在极大值，不符合题意. 当时，.令. （i）当，即时，不符合题意. （ii）当，即时，方程有两个不相等的实数根.设方程两个根为，且. ，的变化如表所示：00极大值极小值
7、所以为极大值. 当时，恒成立. 设方程两个根为，且. ，的变化如表所示：00极小值极大值所以为极大值. 综上，若函数存在极大值，的取值范围为. 18解：（）在中，根据余弦定理 所以. 因为， 所以 . （）在中，根据正弦定理，得. . 因为点为射线上一动点，所以. 所以的取值范围为. 答案不唯一.取值在区间上均正确. 19（）函数在区间上是单调递增函数. 理由如下：由，得. 因为所以. 因此.又因为， 所以恒成立. 所以在区间上是单调递增函数.（）由题意可得，. 因为令 则. 所以在上单调递减. 因为，所以存在唯一实数，使得，其中. 0极大值，的变化如表所示：所以为函数的极大值.因为函数在有唯
8、一的极大值.所以. 因为， 所以. 因为，所以. 所以. 20.解：（）是“关联的”，关联子集有，是“独立的”. （）记集合的含有四个元素的集合分别为:，.所以，至多有5个“关联子集”.若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则;同理可得若为“关联子集”，则，不是“关联子集”.所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.所以一定不是“关联子集”.同理一定不是“关联子集”. 所以集合的“关联子集”至多为，.若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾; 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾; 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.所以，都是“关联子集”. 所以有，即;，即;，即,所以.所以是等差数列. （）不妨设集合（），,，且.记.因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.假设结论错误，即不存在，使得.所以任取，.因为，所以.所以.所以任取，.任取，,所以，且中含有个元素.（i）若，则必有成立.因为，所以一定有成立.所以.所以.所以.所以.因为，所以，所以有，矛盾.（ii）若，则.而中含有个元素,所以.所以，.因为，所以.因为，所以.所以.所以，矛盾.所以命题成立. 高三年级（数学）第13页（共4页）
