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1、 东莞市2014届高三上学期期末调研测试数学理试题一、选择题（40分）1、集合A0，1，2，3，4，。Bxx2x0，则2、若复数的实部与虚部相等，则实数aA、1B、1C、2D、23、阅读右边的程序框图，则输出的SA、7B、8C、15D、24 4、一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是5、平面直角坐标系xoy中，已知A（1,0），B（0,1），C（1，c）（c0），且OC2，若，则实数的值分别是6、以q为公比的等数列中，0，则“”是“q1”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7、已知函数g（
2、x）是偶函数，f（x）g（x2），且当x2时其导函数满足（x2）0，若1a3，则8、定义区间（a，b），a，b），（a，b，a，b的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（2，1）3，5）的长度d=（1）（2）+（5-3）=3用x表示不超过x的最大整数，记x=xx，其中xR设f（x）=xx，g（x）=x1，当0x5时，则不等式f（x）g（x）的解集区间的长度为A、1B、2C、3D、49、展开式中的系数是10、若，则a的值是11、将4个人（含甲、乙）分成两组，每组2人，则甲、乙分别同一组的概率为12、设A为不等式组表示的平面区域，则当a从1连续变化到0时，动直线xya扫过A中
3、的那部分区域的面积为13、设a为实数，函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，则当x0时，函数f（x）的解析式为f（x）；又若对一切x0，不等式f（x）a1恒成立，则a的取值范围是。（用区间或集合表示）（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，点（1，0）到直线2的距离为15、（几何证明选讲选做题）如图，已知ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若OAC60，AC1，则AD的长为三、解答题（80分）16、（本小题满分12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
4、c，若，求sinB的值。16、（本小题满分12分）某校有甲、乙两个研究性学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法，从甲、乙两组中共抽取3名同学进行展示交流。（1）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（2）记X为抽取的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。16、（本小题满分14分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PAABBC2AO2，BO。（1）证明：PABO；（2）求二面角ABPD的余弦值。 19、（本小题满分14分）已知空间向量，定义两个空间向量之间的距离为。（1）若，证明：（2）已知证明：若若，是
5、否一定请说明理由。20、（本小题满分14分）已知函数（1）当a4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。21、（本小题满分14分）已知数列的前n项和为Sn，且满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，证明：对于一切正整数n，不等式恒成立。2013-2014学年度第一学期高三调研测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ABDADBBC二、填空题（本大题共7小题，作答6小题，每小题5分，共30分）9. 10. 11. 12. 13.（2分）；（3分） 14. 15. 三、解答题（本大题共6
6、小题，共80分.）16.（本小题满分12分）解：（1） 2分 . 4分 的最小正周期为. 6分 （2）由，得，则. 8分 在中， 9分 又因为，由正弦定理可得. 12分17（本小题满分12分）解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， 1分 所以，按照分层抽样的方法，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为 2分 设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， 3分 则， 故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为 5分 （2）随机变量的所有取值为 6分 9分 所以，随机变量的分布列为: 10分 数学期望 12分18. （本小题满分14分）证明： 在中，则， . 2分 平面，. 又平面
7、，平面，且，平面.4分 又平面，. 6分解： 如图，过作于，连接、7分 平面，平面， 平面平面. 又平面平面，平面， ，平面，即. 9分 又，平面，且， 平面， 为二面角的平面角. 11分 ，且为等腰梯形， ，则， 12分则. 13分 在中， 二面角的余弦值为. 14分 另解：向量法 如图建立空间直角坐标系. 由已知，. 等腰梯形， ， ， 8分 ，. 设平面的法向量为， 则 令， ，即.10分 设平面的法向量为， 则 令，即. 12分 设二面角的大小为，由图可知是钝角， ， 二面角的余弦值为. 14分19（本小题满分14分）解：（1），3分. 4分（2）证明：，使， ，使得， 5分 即，使得
8、，其中，与同为非负数或同为负数 6分 ，即. 9分 解：不一定，使得 10分 反例如下：取， 12分 ，则 ， 不存在，使得. 14分20（本小题满分14分）解：（1）由已知，的定义域为. 1分 当时，.3分 令，得，令，得， 5分 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 6分（2）设，则“对于任意，不等式恒成立”等价于“对于任意，不等式恒成立”. 而， 7分 设. ，. 8分 当时，即在上单调递增，要使不等式对任意恒成立，即，.9分又，. 10分 当时，即在上单调递减，要使不等式对任意恒成立，即，.又，. 11分 当时，由，得. 当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，要使不等式对任意恒成立，即.又，且，即， 所以时符合条件. 13分 综上所述，满足条件的的取值范围是. 14分21（本小题满分14分）解 ： 由 得（） 2分 由，得，即（）. 由，可得，所以数列为以为首项，为公比的等比数列， 4分 即. 6分证明： 由， 7分 得：. 因此，要证，只要证.8分 下面用数学归纳法先证明 . 9分 当，不等式
