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1、 1 第 章场论 1 1矢量的基本运算公式1 2场的基本概念1 3标量场的梯度1 4矢量场的散度和旋度1 5亥姆霍兹定理1 6常用正交曲线坐标系 2 1 1矢量的基本运算公式 1 1 1标量和矢量1 1 2基本运算公式1 1 3常用矢量 3 标量 用大小能够完整描述的物理量矢量 需用大小和方向描述的物理量 若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知 一个矢量就确定了 例如在直角坐标系中 矢量A的三个分量模值分别是Ax Ay Az 则A可表示为 该矢量的模为 1 1矢量的基本运算公式1 1 1标量和矢量 A的单位矢量为 矢量的表示方法 4 例如 在直角坐标下 标量场 如温度场 电位场 高度场等 矢量场
2、如流速场 电场 涡流场等 1 1矢量的基本运算公式1 1 1标量和矢量 5 设 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 2 矢量的加法和减法 1 矢量的数乘 6 3 标量积和矢量积 标量积A B 并有 因而得 矢量的相乘有两种定义 标量积 点乘 和矢量积 叉乘 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 7 矢量积A B 3 标量积和矢量积 并有 故 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 8 标量三重积为 矢量三重积为 4 三重积矢量的三连乘也有两种 标量 矢量三重积 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 9 5 求导 例求矢量场的矢量线方程 解矢量线应
3、满足的微分方程为 从而有 解得矢量方程 c1和c2是积分常数 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 10 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 6 曲线积分 例设 求任意两点a b间的矢量E的线积分 解 11 7 曲面积分 例已知矢量场 求由内向外穿过圆锥面x2 y2 z2与平面z H所围封闭曲面的通量 解 1 1矢量的基本运算公式1 1 2矢量的基本公式 12 1 1矢量的基本运算公式1 1 3常用矢量 单位矢量一个特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值分矢量一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量切向矢量 分量 法向矢量 分量 13 1 2场的基
4、本概念 1 2 1定义1 2 2分类1 2 3场图 14 1 2场的基本概念1 2 1场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数 即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值 1 2 2场的分类 1 标量场 例如 在直角坐标系 标量场的场线 等值线 面 等值线 15 标量场 x y z 的等值面方程为 1 2场的基本概念1 2 1场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数 即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值 1 2 2场的分类 1 标量场 例求数量场 x y 2 z通过点M 1 0 1 的等值面方程 解点M的坐标是x0 1 y0 0 z0 1 则该点的数量场值为 x0 y0 2 z0 0 其
5、等值面方程为 或 16 1 2场的基本概念1 2 1场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数 即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值 1 2 2场的分类 2 矢量场 例如 在直角坐标系 矢量场的场线 矢量线 其方程为 三维场 在直角坐标下 二维场 17 1 2场的基本概念1 2 1场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数 即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值 1 2 2场的分类 2 矢量场 例求矢量场的矢量线方程 解矢量线应满足的微分方程为 从而有 解得矢量方程 c1和c2是积分常数 18 形象描绘场分布的工具 场线 矢量场 矢量线 标量场 等值线 面 其方程为 其方程为 在直角坐标
6、下 矢量线 在某一温度上沿什么方向温度变化最快 1 2 3场图 19 1 3标量场的梯度 1 3 1方向导数1 3 2梯度1 3 3梯度的物理意义 20 标量场 x y z 在某点沿l方向的变化率称为 沿该方向的方向导数 它的值与所选取的方向有关 设 1 3标量场的梯度 1 3 1方向导数 21 1 3标量场的梯度 标量函数的最大变化率 1 3 1方向导数 在直角坐标系下 性质 垂直于等值面 指向变化最快的方向 最大的变化率 定义 1 3 2梯度 定义 22 引入 则 定义标量场 x y z 在点P x y z 处的梯度 gradient 为 23 标量函数 的等值面的法线方向单位矢量可用梯度
7、表示为 即梯度的方向与过该点的等值面相垂直 并由梯度定义知 它指向 增大的方向 一座山的等高线图 24 梯度运算有如下规则 25 例求数量场在点M 1 1 2 处沿方向的方向导数 解l方向的方向余弦为 而 在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 26 例求r在M 1 0 1 处沿方向的方向导数 解r的梯度为 点M处的坐标为x 1 y 0 z 1 所以r在M点处的梯度为 r在M点沿l方向的方向导数为 而 所以 27 标量场的梯度是一个矢量 是空间坐标点的函数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 即与等值线 面 相垂直的方向 它指向函数的增加方向 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率 即
8、该点最大方向导数 1 3 3梯度的物理意义 三维高度场的梯度 例高度场的梯度 与过该点的等高线垂直 数值等于该点位移的最大变化率 指向地势升高的方向 28 例电位场的梯度 与过该点的等位线垂直 指向电位增加的方向 数值等于该点的最大方向导数 电位场的梯度 29 1 4矢量场的散度和旋度 1 4 1通量1 4 2散度1 4 3环量1 4 4旋度 30 1 4矢量场的散度和旋度1 4 1通量 元通量 通量 31 矢量E沿闭合曲面S的面积分 0 有正源 0 有负源 0 无源 矢量场的通量 可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质 通量的物理意义 32 定义矢量A在某点的散度 divergence 记
9、为divA 1 4矢量场的散度和旋度1 4 2散度 哈密顿 W R Hamilton 引入微分算子 则散度可以表示为 33 1 4矢量场的散度和旋度1 4 2散度 34 得高斯公式 散度定理 该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系 矢量函数的面积分与体积分的互换 1 4矢量场的散度和旋度1 4 2散度 意义 35 例球面S上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算 解 36 矢量A沿某封闭曲线的线积分 定义为A沿该曲线的环量 或旋涡量 记为 1 4矢量场的散度和旋度1 4 3环量 环量密度 取不同的路径 其环量密度不同 37 旋度是一个矢量 模值等于环量密度的最大值 方向为最大环量密
10、度的方向 旋度 curl或rotation 与环量密度的关系为 在直角坐标系下 1 4矢量场的散度和旋度1 4 4旋度 38 1 4矢量场的散度和旋度1 4 4旋度 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量 是空间坐标点的函数 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值 在矢量场中 若 A J 0 称之为旋度场 或涡旋场 J称为旋度源 或涡旋源 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向 若矢量场处处 A 0 称之为无旋场 或保守场 39 矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积 即 计算 A时 先按矢量积规则展开 然后再作微分运算 得 1 4矢量场的散度和旋度1 4 4旋度 40 旋度运算符合如下规则 在直
11、角坐标系中有 41 斯托克斯 Stockes 定理 A是环量密度 即围绕单位面积环路上的环量 因此 其面积分后 环量为 即Stocke s定理 在电磁场理论中 Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式 矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 42 例自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 求任意点处 r 0 电场强度的旋度 E 解 43 可见 向分量为零 同样 向和向分量也都为零 故 这说明点电荷产生的电场是无旋场 因 44 1 5亥姆霍兹定理 1 5 1散度和旋度的比较1 5 2亥姆霍兹定理 45 1 5 1散度和旋度的比较 矢量场的
12、散度是一个标量函数 而矢量场的旋度是一个矢量函数 散度表示场中某点的通量密度 它是场中任一点通量源强度的量度 旋度表示场中某点的最大环量强度 它是场中任一点处旋涡源强度的量度 1 5亥姆霍兹定理 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定 而旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定 46 在有限区域内 矢量场由它的散度 旋度及边界条件唯一地确定 1 5 2亥姆霍兹定理 47 例 判断矢量场的性质 0 0 0 0 0 0 48 1 6常用坐标系 1 6 1直角坐标系1 6 2圆柱坐标系1 6 3球坐标系 49 坐标变量 微元 1 6常用正交曲线坐标系1 6 1直角坐标系 50 柱坐标系 1 6
13、常用正交曲线坐标系1 6 2圆柱坐标系 坐标变量 三者总保持正交关系 并遵循右手螺旋法则 51 微元 52 1 6常用正交曲线坐标系1 6 3球坐标系 坐标变量 三者总保持正交关系 并遵循右手螺旋法则 53 微元 54 三种特殊形式的场 1 平行平面场 如果在经过某一轴线 设为Z轴 的一族平行平面上 场F的分布都相同 即F f x y 则称这个场为平行平面场 55 三种特殊形式的场 2 轴对称场 如果在经过某一轴线 设为Z轴 的一族子午面上 场F的分布都相同 即F f r 则称这个场为轴对称场 56 三种特殊形式的场 3 球面对称场 如果在一族同心球面上 设球心在原点 场F的分布都相同 即F f r 则称这个场为球面对称场 57 练习1设 证明 练习2设 求 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系
