《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教A版必修1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教A版必修1.doc（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、32.1几类不同增长的函数模型提出问题观察如表给出的函数值：x12345678f(x)2x2481632641282562x12x248163264128256g(x)x21491625364964(x1)2x2357911131517h(x)log2x011.585 022.321 92.585 02.807 43log2(x1)log2x10.585 00.415 00.321 90.263 10.222 40.192 60.169 9问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大问题2：函数
2、f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)2x增长得最快，其次是g(x)x2，最慢的是h(x)log2x.导入新知指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，使得当xx0时，就有logaxxn1，n0)化解疑难对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质
3、yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_解析从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个
4、变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化答案y2类题通法常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型对数函数模型ylogax(a1)的增
5、长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间活学活用今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tBvlogtCv Dv2t2解析：选C从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，
6、f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2 014)g(2 014)又g(2 014)g(6)，f(2 014)g(2 014)g(6)f(6)类题通法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数活学活用函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2
7、)比较两函数的增长差异以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x).函数模型的选取例3某汽车制造商在2017年初公告：公司计划2017年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份/年201420152016产量/万辆81830如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(
8、x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系？解建立年生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42，则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4.由可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系类题通法不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的
9、变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题活学活用某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符
10、合该校的要求？解：借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(图略)观察图象可知，在区间5,100上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求典例下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()AyexBy100ln xCyx100 Dy1002x解析指数爆炸式形容指数函数又e2，ex比1002x增大速度快答案A易错防范1影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100，所以1002x比ex增大速度快的错误结论2函数yab
11、xc(b0，且b1，a0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b1，a0)，常形象地称为指数爆炸活学活用四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i1,2,3,4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2 Bf2(x)4xCf3(x)log2x Df4(x)2x解析：选D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)2x，故选D.随堂即时演练1下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()A
12、y50By1 000xCy2x1 Dyln x解析：选C指数函数模型增长速度最快，故选C.2三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3 By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2解析：选C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3若a1，n0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是_解析：a1，n0，函数y1ax，y2xn，y3logax都是增函数由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，axxnlogax.答案：axxnlogax4函数yx2与函数yxln x在区间(1，)上增长较快的一个是_解析：当x变大时，x比ln x增长要快
