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1、2016 考研数学二真题答案【篇一： 2003-2016 年考研数学二真题及解析】t一、选择题1 8小题.每小题4分，共32分.11 .当x?0时，若In(1?2x) , (1?cosx)?均是比x高阶的无穷小， 则?的可能取值范围是()(a) (2,?) (b)(1,2)(c)(,1)(d)(0,) 2 .下列曲线有渐近线的是(a)y?x?sinx (b)y?x2?sinx (c)y?x?sin (d)y?x?12121x21 x【详解】对于 y?x?sin ，可知 x?1xy1?1 且 Iim(y?x)?Iim?0 ，所以有斜渐近线 y?xx?x?xx应该选( c)3. 设函数 f(x)
2、具有二阶导数， g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x ，则在 0,1上()(a)当 f(x)?0 时，f(x)?g(x)( b )当 f(x)?0 时，f(x)?g(x)( c )当f?(x)?0 时，f(x)?g(x)( d )当 f?(x)?0 时，f(x)?g(x)?x?t2?7,4. 曲线 ?上对应于 t?1 的点处的曲率半径是() 2?y?t?4t?1(A)(B) (C) (D) 5 501005. 设函数 f(x)?arctanx ，若 f(x)?xf(?) ，则 x?0?2x2?()(A) 1(B)121(C)(D)332?2u6 设 u(x,y) 在平面有界闭区域 d 上连
3、续，在 d 的内部具有二阶连续 偏导数，且满足 ?0 及?x?y?2u?2u ?2?0 ，则() 2?x?y( a) u(x,y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 d 的边界上； ( b ) u(x,y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 d 的内部；( c ) u(x,y) 的最大值点在区域 d 的内部，最小值点在区域 d 的边界 上； ( d ) u(x,y) 的最小值点在区域 d 的内部，最大值点在区域 d 的 边界上7 行列式0aa0b00b0cd0c00d 等于22( a) (ad?bc) ( b ) ?(ad?bc) ( c) a2d2?b2c2( d ) ?a2d2?b2c28
4、设 ?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数 k,l ，向 量 ?1?k?3 ， ?2?l?3 线性无关是向量?1,?2,?3 线性无关的(a) 必要而非充分条件(b)充分而非必要条件(c)充分必要条件( d )非充分非必要条件二、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在 题中横线上)9 ?1?1dx? x2?2x?510 .设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x?0,2 ，贝Vf(7)? 11 设 z?z(x,y) 是由方程 e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则 dz|?11? ?,?4?22?12曲线 l 的极坐标方程为 r? ，
5、则 l 在点 (r,?)?,? 处的切线方程为 22?13 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 0,1 上，若其线密度？(x)?x2?2x?1 ，则该细棒的质心坐标 x?.221 4 设二次型 f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3 的负惯性指数是1 ，则 a 的取值范围是?三、解答题1 5 (本题满分 10 分)1t? 求极限 limx?x1(t2(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x1 6 (本题满分 10 分)已知函数 y?y(x) 满足微分方程 x?yy?1?y ，且 y(2)?0 ，求 y(x) 的极 大值和极小值 17 (本题满分 10 分)22xsin
6、(?x2?y2)dxdy 设平面区域 d?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0 计算 ?x?yd?22?1 8 (本题满分 10 分)?2z?2zx2x设函数 f(u) 具有二阶连续导数， z?f(ecosy) 满足若 ?(4z?ecosy)e?x2?y2x f(0)?0,f(0)?0 ，求 f(u) 的表达式19 (本题满分 10 分)设函数 f(x),g(x) 在区间 a.b 上连续，且 f(x) 单调增加， 0?g(x)?1 ， 证明： (1) 0? (2)?bxag(t)dt?x?a,x?a,b? ； f(x)dx?f(x)g(x)dx ab?a?ag(t)dta20 (本题满分
7、 11 分) 设函数 f(x)?x,x?0,1? ，定义函数列 1?xf1(x)?f(x) ，f2(x)?f(f1(x) ， ?,fn(x)?f(fn?1(x),?设 sn 是曲线 y?fn(x) ，直线 x?1,y?0 所围图形的面积求极限 limnsn n?21 (本题满分 11分) 已知函数 f(x,y) 满足?f?2(y?1) ，且 f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny ，求曲线 f(x,y)?0 所 ?y 成的图形绕直线 y?1 旋转所成的旋转体的体积 22 (本题满分 11 分)?1?23?4? 设 a?01?11? ， e 为三阶单位矩阵?1203?(1) 求方程组 ax
8、?0 的一个基础解系； ( 2) 求满足 ab?e 的所有 矩阵23 (本题满分 11 分)?1?1证明 n 阶矩阵 ?1?1?1?0?01?1?1?0?02?与 ? 相似 ?1?1?0?0n?2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题 :1?8 小题,每小题 4分,共32 分.下列每题给出的四个选 项中 ,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ()(a)?2(b) ?2lnx(c)?1dxdx(d) ?2xxlnxx2sint?2xdx xe(2) 函数 f?x?lim(1?t?0x在(?,?) 内()(a)
9、连续 (b) 有可去间断点 (c) 有跳跃间断点 (d) 有无穷间断点1?xcos,x?0?x(?0,?0), 若 f?x? 在 x?0 处连续则 :( ) (3) 设函数 f?x?0,x?0(a)?0 (b)0?1 (c)?2(d)0?2设函数f(x)在?,？?？内连续，其中二阶导数 f?(x)的图形如图所示，则曲线 y?f(x) 的拐点的个数为 ()(a) 0(b) 1 (c)2(d) 3(5) 设函数 f?u,v? 满足 f?x?y,?x2?y2 ，则 ?(a)?y?f u?1 与 v?1?f u?1v?1 依次是 ()1111,0 (b) 0,(c)?,0 (d) 0,?22224xy
10、?1 与直线 y?x, y?围成的平面区域，(6)设d是第一象限由曲线2xy?1 ,函数 f?x,y?在d上连续，则?f?x,y?dxdy? ()d?(a)?d?341sin212sin2? f?rcos?,rsin?rdr(b) 34d?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin?rdr f?rcos?,rsin?dr?(c)?d?34(d)?d?34 f?rcos?,rsin?dr【篇二： 2016 年考研数学二真题与解析】txt 一、选择题 1 8 小题每小题 4 分，共 32 分11 .当x?0时，若In(1?2x) , (1?cosx)?均是比x高阶的无穷小， 则?的可能取值
11、范围是( )(a)(2,?) (b)(1,2) (c)(,1) (d)(0,)?1212?1?【详解】 In?(1?2x)2?x? ，是?阶无穷小， (1?cosx)?1x? 是阶无 穷小，由题意可知 ?2?1?2?1122 所以?的可能取值范围是 (1,2) ，应该选( b). 2 .下列曲线有渐近 线的是(a)y?x?sinx (b)y?x2?sinx (c)y?x?sin (d)y?x?1x21 x【详解】对于 y?x?sin ，可知 x?1xy1?1 且 Iim(y?x)?Iimsin?0 ，所以有斜渐近线 y?xx?x?xx应该选( c)3 .设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f
12、(0)(1?x)?fx，则在0,1上()(a)当 f(x)?0 时，f(x)?g(x)( b )当 f(x)?0 时，f(x)?g(x)( c)当 f?(x)?0 时，f(x)?g(x)( d )当 f?(x)?0 时，f(x)?g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.【详解 1 】如果对曲线在区间 a,b 上凹凸的定义比较熟悉的话，可 以直接做出判断. 显然g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x 就是联接 (0,f(0),(1,f(1) 两点的直线方程故当 f?(x)?0 时，曲线是凹的，也就是 f(x)?g(x) ，应该选( d )【详解 2】如果对曲线在区间 a,b 上
13、凹凸的定义不熟悉的话，可令 f(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x ，则 f(0)?f(1)?0 ，且 f(x)?f(x) ， 故当 f?(x)?0 时，曲线是凹的，从而 f(x)?f(0)?f(1)?0 ，即 f(x)?f(x)?g(x)?0 ，也就是 f(x)?g(x) ，应该选( d )?x?t2?7,4 曲线 ? 上对应于 t?1 的点处的曲率半径是( ) 2?y?t?4t?1(A)(B) (C) (D) 5 50100y(1?y2)32【详解】 曲线在点 (x,f(x) 处的曲率公式 k? ，曲率半径 r?1 k22dxdydy2t?42dy1?2t,
14、?2t?4，所以 ?1? ，2?本题中 ?3 ，dtdtdx2tt2tdxt?对应于 t?1 的点处 y?3,y?1 ，所以 k? 应该选( c)5 设函数 f(x)?arctanx ，若 f(x)?xf(?) ，则 x?0y(1?y2)3?1 1 0 ，曲率半径 r?1?10 k?2x2?( )(A) 1(B)211 (C)(D)323【详解】注意( 1 ) f(x)?1133x?0 时 ,arctanx?x?x?o(x) ，( 2) 231?x由于 f(x)?xf(?) 所以可知 f(?)?1f(x)arctanxx?arctanx2 ， ?xx1?2(arctanx)213x)?o(x3)1? 3x3x?0?2x2?x?0x?arxtanx?x(arctanx)2x?0x?(x?
