《高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)(二)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学海无涯向量 1 向量的概念 1 向量的基本要素 大小和方向 2 向量的表示 几何表示法AB 字母表示 a 坐标表示法a j 3 向量的长度 即向量的大小 记作 a 4 特殊的向量 零向量a O a O 单位向量aO为单位向量 aO 1 11 5 相等的向量 大小相等 方向相同 22 12 12 y y x x 6 相反向量 a b b a a b 0 7 平行向量 共线向量 方向相同或相反的向量 称为平行向量 记作a b 平行向量也称为共线向量 2 向量的运算 学海无涯3 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相连 平行四边形法则的特点 共起点 三角形不等式 a b a b a b 运算性质
2、交换律 a b b a 结合律 a b c a b c a 0 0 a a 坐标运算 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 4 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 设 两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 向量数乘运算 实数 与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作 a a a 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 运算律 a a a a a a b a b 坐标运算 设
3、a x y 则 a x y x y 向量共线定理 向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则当且仅当x1y2 x2y1 0时 向量a b b 0 共线 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 不共线的向量e1 e2作为这一平面内所有向量的一组基底 8 分点坐标公式 设点 是线段 1 2上的一点 1 2的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 当 1 2 时 点 的坐标是 12 12 x xy y 1 1 当 1时 就为中点公式 9
4、平面向量的数量积 a b abcos a 0 b 0 0 180 零向量与任一向量的数量积为0 b a C a b C C 学海无涯 性质 设a和b都是非零向量 则 a b a b 0 当a与b同向时 a b ab 当a与b反向时 a b ab a a a2 a2或a a a a b ab 运算律 a b b a a b a b a b a b c a c b c 坐标运算 设两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 a2 x2 y2 或a x2 y2 1122 若a x y 则设a x y b x y 则 a b x1x2 y1y2 0 设a b都是非零向量
5、a x1 y1 b x2 y2 是a与b的夹角 则 1122 x1x2 y1y2 cos a b abx2 y2x2 y2 线段的定比分点公式 0和 1 P1PPP 设 2 或2 1 1 PPPP 12 且P P P的坐标分别是 1122 x y x y x y 则 y y1 y2 1 x x x 12 1 12 2 2 y y1 y2 推广1 当 1时 得线段PP的中点公式 x x x 12 MB 1 推广2 AM 则PM PA PB 对应终点向量 112233 3 1233 x x1 x2 x3 三角形重心坐标公式 ABC的顶点A x y B x y C x y 重心坐标G x y y y
6、 y y 注意 在 ABC中 若0为重心 则OA OB OC 0 这是充要条件 平移公式 若点P x y 按向量a h k 平移到P y y k x y 则 x x h 4 1 正弦定理 设 ABC的三边为a b c 所对的角为A B C 则 abc sinAsinBsinC 2R c b a 2abcosC 2 余弦定理 b a c 2accosB 22 2 222 a2 b2 c2 2bccosA 3 正切定理 2 2 tan tanA B A B a ba b 4 三角形面积计算公式 设 ABC的三边为a b c 其高分别为ha hb hc 半周长为P 外接圆 内切圆的半径为R r A
7、B P M 学海无涯 S 1 2aha 1 2bhb 1 2chc S Pr S abc 4R S 1 2sinCa b 1 2ac sinB 1 2cb sinA S P P a P b P c 海伦公式 S 1 2 b c a ra 如下图 1 2 b a c rc 1 2 a c b rb 注 到三角形三边的距离相等的点有4个 一个是内心 其余3个是旁心 如图 图1中的I为S ABC的内心 S Pr 图2中的I为S ABC的一个旁心 S 1 2 b c a ra 图3 附 三角形的五个 心 重心 三角形三条中线交点 外心 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心 三角形三内角的平分线相交于一
8、点 垂心 三角形三边上的高相交于一点 旁心 三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 2 5 已知 O是 ABC的内切圆 若BC a AC b AB c 注 s为 ABC的半周长 即a b c 则 AE s a 1 2 b c a BN s b 1 2 a c b FC s c 1 2 a b c 综合上述 由已知得 一个角的邻边的切线长 等于半周长减去对边 如图4 ab 特例 已知在Rt ABC c为斜边 则内切圆半径r a b c 2a b c 如图3 6 在 ABC中 有下列等式成立tanA tanB tanC tanAtanBtanC 1 tanAtanB 证明 因为A B
9、 C 所以tan A B tan C 所以tanA tanB tanC 结论 BC 7 在 ABC中 D是BC上任意一点 则AD AC2BD AB2BC 2 BD DC 证明 在 ABCD中 由余弦定理 有AD2 AB2 BD2 2 AB BDcosB A B C O a b c I A B C I图2 A B C D E F ra ra ra b c a aE Fb cD A C B N E F 图4A C B D图5 学海无涯 2AB BC 在 ABC中 由余弦定理有cosB AB2 BC2 AC2 BC 代入 化简可得 AD AC2BD AB2BC 2 BD DC 斯德瓦定理 若AD是B
10、C上的中线 m a 12 2b2 2c2 a2 a 若AD是 A的平分线 t 2b c bc p p a 其中p为半周长 若AD是BC上的高 h a 2a p p a p b p c 其中p为半周长 8 ABC的判定 c2 a2 b2 ABC为直角 A B 2 2 c2 a2 b2 ABC为钝角 A B 2 c2 a2 b2 ABC为锐角 A B 附 证明 2ab cosC a b c 得在钝角 ABC中 cosC 0 a2 b2 c2 0 a2 b2 c2222 9 平行四边形对角线定理 对角线的平方和等于四边的平方和 a b2 a b2 2 a2 b2 09 13高考真题 6 09 7 函
11、数y cos 2x 2的图像F按向量a平移到F F 的解析式y f x 当y f x 为奇函数时 向量a可以等于 6 A 2 B 2 C 2 D 2 666 答案 D 09 1 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c A 3a bB 3a bC a 3bD a 3b 答案 B10 8 已知 ABC和点M满足MA MB MC 0 若存在实m使得AM AC mAM成立 则m BA 2B 3C 4D 511 2 若向量a 1 2 b 1 1 则2a b与a b的夹角等于 A B 46 4 C 4 D 3 详细解析 分别求出2a b与a b的坐标 再求出a b 带入公式求夹角 学海无涯 考点定位 考查向量的夹角公式cos a ba b 属于简单题 12 13 已知向量a 1 0 b 1 1 则 1 与2a b同向的单位向量的坐标表示为 1010 310 10 2 向量b 3a与向量a夹角的余弦值为 255
