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1、学海无涯 2012高考数学模拟试卷 一 一 选择题 1 设a 2 3 b 4 3 c 5 6 则 a 3b c等于 A 50 36 B 121 C 0D 14a 2 a 8 是 对任意的正数x 2x x 1 的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 曲线y x3 x2 4在点 2 8 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是 A 1B 2C 4D 8 ax b 0 4 关于x的不等式ax b 0的解集为 x x 1 则关于x的不等式x 2的解集为 A x 1 x 2 B x x 1 或x 2 C x 1 x 2 D x x 2 5 已知盒中装有3只螺口与
2、7只卡口灯炮 这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着 现需要一只卡口灯炮使用 电工师傅每次从中任取一只并不放回 则他直到第3次才取得卡口 灯炮的概率为 21 A 40 17B 40 3C 10 7D 120 42 3 6 已知f x 1 x 当 5 时 f sin2 f sin2 可化简为 7 已知双曲线2 A 2sin B 2cos C 2cos D 2sin x2y2 1 b 0 的左 右焦点分别是F F 其一条渐近线方程为y x 点b212 P 3 y0 在双曲线上 则PF1 PF2 A 12B 2C 0D 48 在半径为3的球面上有A B C三点 ABC 90 BA BC 球心O到平
3、面ABC的距离 2 是3 2 则B C两点的球面距离是 4 33 A B C D 2 9 2位男生和3位女生共5位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 A 60B 48C 42D 36 10 已知函数f x 是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数 且对任意实数x都有 xf x 1 1 x f x 则f 5 的值是 A 0 1 2B C 12 D 52 二 填空题 11 一条光线从点 5 3 射入 与x轴正方向成 角 遇x轴后反射 若tan 3 则反射光 线所在直线方程是 12 已知 M x2 y 2 2 1 Q是x轴上动点 QA QB分别切 M于A
4、B两点 则直线AB恒过定点 13 已知数列 an 满足a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则 an 的通项an 1 f x 14 已知f x 是R上的函数 且f x 2 1 f x 若f 1 2 3 则f 2009 15 若直角三角形的周长为2 1 则它的最大面积为 三 解答题 16 甲 乙等五名志愿者被随机地分到A B C D四个不同的岗位服务 每个岗位至少有一名志愿者 求甲 乙两人同时参加A岗位服务的概率 求甲 乙两人不在同一个岗位服务的概率 学海无涯 2 3 2 17 设 ABC的内角A B C的对边长分别为a b c cos A C cosB b ac 求
5、B 18 设函数f x x3 9x2 6x a 2对于任意实数x f x m恒成立 求m的最大值 若方程f x 0有且仅有一个实根 求a的取值范围 19 设S为数列 a 的前n项和 S kn2 n n N 其中k是常数 nnn I 求a1及an m2m4m II 若对于任意的m N a a a成等比数列 求k的值 20 如图 四棱锥P ABCD的底面是正方形 PD 底面ABC 点E在棱PB上 求证 平面AEC 平面PDB 当PD 2AB且E为PB的中点时 求AE与平面PDB所成的角的大小 学海无涯 4 21 已知抛物线C x2 2py p 0 上一点A m 4 到其焦点的距离为17 求p与m的
6、值 设抛物线C上一点P的横坐标为t t 0 过P的直线交C于另一点Q 交x轴于点M 过点Q作PQ的垂线交C于另一点N 若MN是C的切线 求t的最小值 学海无涯 2012高考数学模拟试卷答案 一 3 C4 C5 D6 C7 C8 D9 C10 D 一 选择题1 D2 B二 填空题 2 11 y 3x 112 03 13 2 1 n n 1 n 2 4 14 2 315 1 三 解答题 54 1 40 A3 C2A4 16 解 记甲 乙两人同时参加A岗位服务为事件EA 那么P EA 3 1 即甲 乙两人同时参加A岗位服务的概率是 40 54 1 10 A4 C2A4 记甲 乙两人同时参加同一岗位服
7、务为事件E 那么P E 4 9 10 所以 甲 乙两人不在同一岗位服务的概率是P E 1 P E 3 17 解 由cos A C cosB 及B A C 得2 2 cos A C cos A C 3 2 cosAcosC sinAsinC cosAcosC sinAsinC 3 3 sinAsinC 4又由b2 ac及正弦定理得sin2B sinAsinC 故sin2B 3 32 4sinB 或sinB 3 舍去 2 33 2 于是B 或B 又由b2 ac知b a或b c 3 所以B 18 解 1 f x 3x2 9x 6 3 x 1 x 2 因为x f x m 即3x2 9x 6 m 0恒成
8、立 44 所以 81 12 6 m 0 得m 3 即m的最大值为 3 2 因为当x 1时 f x 0 当1 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 5 2 所以当x 1时 f x 取极大值f 1 a 当x 2时 f x 取极小值f 2 2 a 故当f 2 0或f 1 0时 方程f x 0仅有一个实根 解得 5 a 2或a 2 19 解 当n 1 a1 S1 k 1 n 2 an Sn Sn 1 kn n k n 1 n 1 2kn k 1 22经验 n 1 式成立 an 2kn k 1 am a2m a4m成等比数列 2mm4m a2 a a 即 4km k 1 2 2km k 1 8k
9、m k 1 整理得 mk k 1 0 对任意的m N 成立 k 0或k 1 20 四边形ABCD是正方形 AC BD PD 底面ABC PD AC AC 平面PDB 平面AEC 平面PDB 设AC BD O 连接OE 由 知AC 平面PDB于O AEO为AE与平面PDB所的角 O E分别为DB PB的中点 OE PD OE 1PD 又 PD 底面ABC 2 OE 底面ABCD OE AO 22 在Rt AOE中 OE 1DABP 2 AO 学海无涯 AOE 45 即AE与平面PDB所成的角的大小为45 21 解 由抛物线方程得其准线方程 y p 根据抛物线定义2点A m 4 到焦点的距离等于它
10、到准线的距离 即4 p 17 解得p 1242 抛物线方程为 x2 y 将A m 4 代入抛物线方程 解得m 2 由题意知 过点P t t2 的直线PQ斜率存在且不为0 设其为k 2 则lPQ y t k x t 当y 0 x kk t2 kt t2 kt 则M 0 联立方程 x2 y y t2 k x t 整理得 x2 kx t k t 0 即 x t x k t 0 解得x t 或x k t k Q k t k t 2 而QN QP 直线NQ斜率为 1 k NQ l y k t 2 x k t 联立方程 kx2 y 1 y k t 2 1 x k t 整理得 x2 1x 1 k t k t 2 0 即 kx2 x k t k k t 1 0kk kx k k t 1 x k t 0 解得 x k k t 1 或x k t k2 k k k t 1 k k t 1 2 N k2 kt 1 2 k t2 kt k t2 k2 1 k k t 1k k2 k k k t 1 2 KNM k k 2k k t 2 而抛物线在点N处切线斜率 k y x k k t 1 切 k t2 k2 1 k 2 MN是抛物线的切线 k kt 1 2k k t 2222 整理得k tk 1 2t0 min 23 t2 4 1 2t2 0 解得t 2 舍去 或t 2 t33
