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1、第五讲 几何立体部分一、 长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：；长方体的体积：正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为，那么：，二、圆柱与圆锥立体图形表面积体积圆柱圆锥注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上
2、下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【解析】 原正方体的表面积是44696(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形从而，它的表面积是：9646120平方厘米【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立
3、体图形的表面积是多少？【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 我们仍然从3个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：2228(平方厘米)；左右方向、前后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，41(平方厘米)，4(平方厘米)，这个立体图形的表
4、面积为：41(平方厘米).【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次，6112618(平方米)【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来
5、的3倍，即表面积的和为【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例 6】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当 b2h时，如何打包？当 b2h时，如何打包？当 b2h时，如何打包？【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长
6、愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b，图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2（b2h）.当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包.【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【解析】 考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高116拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高123拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例 7】
7、如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向：(平方分米)；侧面：(平方分米)，(平方分米)这个立体图形的表面积为：(平方分米)【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表
8、面积是_平方厘米【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(平方厘米)，重叠部分的面积为：(平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)(法2)三视图法从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米表面积为(平方厘米)【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2个上面个左面个前面上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米因此，这个立体
9、图形的总表面积为：(平方厘米) 上下面 左右面 前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成该图形的表面积等于个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米【例 10】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【解析】 (平方米)【例 11】 棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少?【解析】
10、切割成棱长是1厘米的小正方体共有个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为，而，所以小正方体的总数是25的倍数，即是25的倍数，那么是5的倍数当时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有个，表面没有红色的小正方体有个，个数比恰好是，符合题意.因此，的最小值是5【例 12】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么
11、就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(个)，其中个用黑色这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是厘米因为，每个长方体相交于一
12、个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个面，有个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个面，有个；若两面相邻，应涂一个面和一个面，此时有个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个面、一个面，有个；若三面两两相邻，有个，所以涂三面的最少有146个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有个【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其
13、中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设，那么分成的小正方体个数为，为了使小正方体的个数尽量少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们的和最小，此时共有个小正方体当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体
14、是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令，此时共有个小正方体因为，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体【例 15】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格 其余四个面中，每个面的四个角上的
15、方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）所以，红色方格最多有（个）（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：
