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1、 学海无涯2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 满分60分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 集合 则 2 设复数满足 则复数在复平面内对应的点位于 3 设等差数列 的前项和为 若 则等于 已知 是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题正确的是 A 若 则 B 若 则 C 若 且 则 D 若 且 则 5 的展开式的常数项是 6 已知 满足 则下列各选项正确的是 7 中国古代十进制的算筹计数法 在数学史上是一个伟大的创造 算筹实际上是一根根同长短的小木棍 如图 是利用算筹表示数的一种方法 例如 可表示为
2、 可表示为 现有根算筹 据此表示方法 若算筹不能剩余 则可以用 学海无涯这数字表示两位数的个数为 8 在矩形 中 与相交于点 过点作 垂足为 则 9 函数 图象的大致形状是 A B C D 10 位男生和位女生共位同学站成一排 位女生中有且只有两位女生相邻 则不 学海无涯 11 已知函数 若方程 的解为 则 12 已知函数 曲线 上总存在两点 使曲线 在 两点处的切线互相平行 则 的取值 范围为 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 满分20分 则当 时 已知数列满足 设当 时 函数 取得最大值 则 已知函数 在 处有极小值 则 在三棱锥 侧面 与底面 垂直 则三棱 锥 中 外接球的表面积是
3、 三 解答题 共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21题为必考题 每个试题学生都必须作答 第22 23题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60分 在锐角 中 角 对应的边分别是 且 学海无涯 1 求角的大小 2 设 数列的前项和为 当 取最大值时 求 的值 如图 在多面体 中 四边形 是边长为 的菱形 与 交于点 平面 平面 1 求证 平面 2 若 为等边三角形 点 为的中点 求二面角 的余弦值 根据长期检测结果 各厂生产的每片瓷砖质 并把质量在之外的瓷砖作为废品直 某种规格的矩形瓷砖量都服从正态分布接回炉处理 剩下的称为正品 从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取片进
4、行检查 求至少有片是废品的概率 若规定该规格的每片正品瓷砖的 尺寸误差 计算方式为 设矩形瓷砖的长与宽分别为 则 尺寸误差 为 按行业生产标 学海无涯 准 其中 优等 一级 合格 瓷砖的 尺寸误差 范围分别是 正品瓷砖中没有 尺寸误差 大于的瓷砖 每片价格分别为元 元 元 现分别从甲 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取片瓷砖 相应的 尺寸误差 组成的样本数据如下 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 甲厂瓷砖的 尺寸误差 频数表 记甲厂该种规格的片正品瓷砖卖出的钱数为 元 求的分布列 由图可知 乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有 优等 一级 两种 求片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少
5、于元的概率 附 若随机变量服从正态分布 则 已知函数 求函数 的单调区间 若存在 使 成立 求整数的最小值 二 选考题 共10分 请考生在第22 23题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修4 4 坐标系与参数方程 学海无涯 在直角坐标系 中 曲线的参数方程为 为参数 坐标原 点为极点 轴的正半轴为极轴 取相同长度单位建立极坐标系 直线的极坐标方程为 求曲线和直线的直角坐标方程 直线与轴的交点为 经过点的动直线与曲线交于 两点 证明 为定值 选修4 5 不等式选讲 10分 已知函数 1 若 时 解不等式 2 若关于的不等式 在 上有解 求实数的取值范围 学海无涯参考答案与试题解析
6、2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 满分60分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 答案 C 考点 交 并 补集的混合运算 解析 2 答案 B 考点 共轭复数复数的代数表示法及其几何意义 解析 利用复数的运算法则 进行正确的计算即可 解答 解 设复数 复数在复平面内对应的点位于第二象限 故选 3 答案 C 学海无涯 考点 等差数列的性质 解析 由等差数列的通项公式知 再由等差数列的前项和公式知 解答 解 故选 4 答案 D 考点 命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系 解析 在中 与相交 平行或异面 在中
7、 与相交或平行 在中 与相交或平行 在中 由线面垂直 面面垂直的性质定理得 解答 故 解 由 是两条不同的直线 是三个不同的平面 知 在中 若 则与相交 平行或异面 故错误 在中 若 则与相交或平行 故错误 在中 若 且 则与相交或平行 故错误 在中 若 且 则线面垂直 面面垂直的性质定理得正确 故选 学海无涯5 答案 D 考点 二项式定理及相关概念 解析 的展开式的常数项是第一个因式取 第二个因式取 第一个因式 取 第二个因式取 故可得结论 解答 第一个因式取 第二个因式取 可得 第一个因式取 第二个因式取 可得 的展开式的常数项是 6 答案 B 考点 指数函数与对数函数的关系 解析 本题可
8、以选择 两个中间值采用搭桥法处理 解答 依题意 因为 为 上的增函数 所以 应为 为上的增函数 且 所以 满足 所以 所以 所以 又因为 为 的增函数 所以 综上 7 学海无涯 答案 D 考点 排列 组合及简单计数问题 解析 根据题意 分析可得根算筹可以表示的数字组合 进而分析每个组合表示的两位数个数 由加法原理分析可得答案 解答 根据题意 现有根算筹 可以表示的数字组合为 数字组合 中 每组可以表示个两位数 则可以表示 个两位数 数字组合 每组可以表示个两位数 则可以表示 个两位数 则一共可以表示 个两位数 8 答案 D 考点 平面向量数量积的性质及其运算 解析 根据题意建立平面直角坐标系
9、利用坐标写出与的方程 求出点的坐标 再利用向量坐标表示计算的值 解答 建立平面直角坐标系 如图所示 矩形 中 则 学海无涯 直线的方程为 由 则直线 的方程为 即 由 解得 所以 所以 9 答案 C 考点 函数的图象与图象的变换 解析 根据条件先判断函数的奇偶性 和对称性 利用 的值的符号是否对应进行排除即 可 解答 解 则 则 当 是偶函数 则图象关于轴对称 排除 时 排除 故选 10 答案 A 学海无涯 考点 排列 组合及简单计数问题 解析 把位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素 和剩下的一位女生 插入到位男生全排列后形成的个空中的个空中 问题得以解决 解答 根据题意 把位女生的两位捆绑
10、在一起看做一个复合元素 和剩下的一位女生 插入到位男生全排列后形成的个空中的个空中 故有 种 11 答案 A 考点 三角函数的恒等变换及化简求值三角函数值的符号 解析 由已知可得 结合求出的范围 再由 求解即可 解答 解 又 方程 的解为 学海无涯 由 得 故选 且 化为 12 答案 B 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 解析 求得的导数 由题意可得 因此 对 都成立 令 利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 解答 函数 导数 化为 对 都成立 令 学海无涯 由 当且仅当 取得等号 即 的取值范围是 故选 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 满分20分 答案 考点 数列递推式 解析
11、根据已知条件写出数列的前几项 分析规律 并归纳出数列的通项公式即可 解答 解 数列满足 则 由此可得当 时 故答案为 答案 考点 三角函数的恒等变换及化简求值 解析 解析式提取 利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数 由 时函数取得最大值 得到的取值 后代入正切公式中计算求值 解答 学海无涯 当 时 函数 取得最大值 答案 在 处有极小值得 即可求 考点 利用导数研究函数的极值 解析 根据函数 出的值 解答 当 时 此时 不是极小值点 故答案 答案 考点 球的体积和表面积 解析 如图所示 取的中点 连接 设为 为三棱锥外接球的球心 连接 的中心 为的中心 四边形为正方形 可得 学海无涯
12、为棱锥 外接球的半径 利用勾股定理及其球的表面积计算公式即可得出 解答 如图所示 取的中点 连接 设为的中心 为的中心 为三棱锥外接球的球心 连接 四边形为正方形 则为棱锥外接球的半径 三棱锥 外接球的表面积 三 解答题 共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21题为必考题 每个试题学生都必须作答 第22 23题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60分 答案 可得 解得 或 为锐角三角形 可得 可得 又 可得 在中 由余弦定理可知 学海无涯 在 中 由正弦定理可知 可得 考点 余弦定理 解析 1 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 的值 结合的范围 可求 的
13、值 的值 从而解得的值 由余弦定理可求的值 由 2 利用三角形的面积公式可求正弦定理可求的值 解答 可得 解得 或 为锐角三角形 可得 可得 又 可得 在中 由余弦定理可知 在 中 由正弦定理可知 可得 答案 学海无涯 可得 由 即 由 可得 可得 即 由 解得 舍去 则 可得 则 可得 或时 取最大值 则的值为或 考点 数列的求和 解析 由条件判断 再由等比数列的性质和通项公式 解方程可得首项和公比 进而得到所求通项公式 求得 可得 再由等差数列的 求和公式和配方法 可得所求最大值时的的值 解答 学海无涯 可得 由 即 由 可得 可得 即 由 解得 舍去 则 可得 则 可得 或时 取最大值
14、则的值为或 答案 如图 取中点 连接 因为 所以 平面 平面 平面 平面 又因为平面所以平面 分别为 中点 所以 学海无涯 因为 所以四边形 为平行四边形 所以 所以 如图 以 平面 所在直线为轴 所在直线为轴 所在直线为轴建立空间坐标系 显然二面角 向量 由题意可知 为锐二面角 设该二面角为 是平面的法向量 设平面的法向量 所以 所以 则 即 所以 所以 考点 直线与平面垂直二面角的平面角及求法 解析 1 取中点 连接 证明 平面 则 平面 学海无涯 所在直线为轴建立空间坐标系 转化为两个法向量夹角 2 以所在直线为轴 所在直线为轴 分别求出平面 平面的法向量 将二面角余弦值的问题 解答 如
15、图 取中点 连接 因为 所以 平面 平面 平面 平面 又因为平面所以平面 分别为 中点 所以 因为 所以四边形 为平行四边形 所以 所以 如图 以 平面 所在直线为轴 所在直线为轴 所在直线为轴建立空间坐标系 显然二面角 向量 由题意可知 为锐二面角 设该二面角为 是平面的法向量 设平面的法向量 所以 所以 学海无涯 则 即 所以 所以 答案 由正态分布可知 抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为则这片质量全都在之内 即没有废品 的概率为 则这片中至少有片是废品的概率为 由已知数据 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 得该厂生产的一片正品瓷砖为 优等 一级 合格 的概率分别为 则的可
16、能取值为 元 计算 得到的分布列如下 学海无涯 数学期望为 片 一级 品 元 设乙陶瓷厂片该规格的正品瓷砖中有片 优等 品 则有由已知 解得 则取或 故所求的概率为 考点 正态分布密度曲线 解析 由正态分布的概率公式求值即可 根据题意知的可能取值 计算所求的概率值 写出分布列 计算数学期望值 根据题意求出 优等 品与 一级 品数 再计算所求的概率值 解答 由正态分布可知 抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为则这片质量全都在之内 即没有废品 的概率为 则这片中至少有片是废品的概率为 由已知数据 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 得该厂生产的一片正品瓷砖为 优等 一级 合格 的概率分别为 则的可能取值为 元 学海无涯 计算 得到的分布列如下 数学期望为 片 一级 品 元 设乙陶瓷厂片该规格的正品瓷砖中有片 优等 品 则有由已知 解得 则取或 故所求的概率为 答案 学海无涯 在 上单调递减 当 时 方程 的两根为 且 此时 在 上 函数 单调递增 在 上 函数 单调递减 当 时 此时当 单调递增 当 时 单调递减 综上 当 时 在 上单调递增 在 上单调递减 当 时 在 上单调
