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1、第1页 共 14页 2015 年上海市中考数学试卷及答案解析 一 选择题 本大题共6 小题 每小题4 分 共 24 分 1 下列实数中 是有理数的为 A 2B 4 3 C D 0 解 2是无理数 A 不正确 4 3 是无理数 B 不正确 是无理数 C 不正确 0 是有理数 D 正确 故选 D 2 当 a 0 时 下列关于幂的运算正确的是 A a0 1 B a 1 a C a 2 a2 D a 1 2 1 2 解 A a0 1 a 0 正确 B a 1 1 故此选项错误 C a 2 a2 故此选项错误 D a 1 2 a 0 故此选项错误 故选 A 3 下列 y 关于 x 的函数中 是正比例函数
2、的为 A y x2B y 2 C y 2 D y 1 2 解 A y 是 x 的二次函数 故A 选项错误 B y是 x 的反比例函数 故B 选项错误 C y是 x 的正比例函数 故C 选项正确 D y 是 x 的一次函数 故D 选项错误 故选 C 4 如果一个正多边形的中心角为72 那么这个多边形的边数是 A 4B 5C 6D 7 解 这个多边形的边数是360 72 5 故选 B 5 下列各统计量中 表示一组数据波动程度的量是 第2页 共 14页 A 平均数B 众数C 方差D 频率 解 能反映一组数据波动程度的是方差或标准差 故选 C 6 如图 已知在 O 中 AB 是弦 半径 OC AB 垂
3、足为点D 要使四边形OACB 为菱形 还需要添加一个条件 这个条件可以是 A AD BDB OD CDC CAD CBDD OCA OCB 解 在 O 中 AB 是弦 半径OC AB AD DB 当 DO CD 则 AD BD DO CD AB CO 故四边形OACB 为菱形 故选 B 二 填空题 7 计算 2 2 4 解 原式 2 2 4 故答案为4 8 方程 3 2 2 的解是x 2 解 3 2 2 3x 2 4 x 2 当 x 2 时 左边 3 2 2 2 右边 2 左边 右边 第3页 共 14页 方程 3 2 2 的解是 x 2 故答案为 x 2 9 如果分式 2 3有意义 那么 x
4、的取值范围是x 3 解 由题意得 x 3 0 即 x 3 故答案为 x 3 10 如果关于 x 的一元二次方程x2 4x m 0没有实数根 那么 m的取值范围是m 4 解 一元二次方程x2 4x m 0 没有实数根 16 4 m 0 m 4 故答案为m 4 11 同一温度的华氏度数y 与摄氏度数x 之间的函数关系是y 9 5x 32 如果某 一温度的摄氏度数是25 那么它的华氏度数是77 解 当 x 25 时 y 9 5 25 32 77 故答案为 77 12 如果将抛物线y x2 2x 1 向上平移 使它经过点A 0 3 那么所得新抛物线的表 达式是y x2 2x 3 解 设平移后的抛物线解
5、析式为y x 2 2x 1 b 把 A 0 3 代入 得 3 1 b 解得 b 4 则该函数解析式为y x2 2x 3 故答案是 y x2 2x 3 13 某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动 首次活动需要7 位同学参加 现有包括 小杰在内的50 位同学报名 因此学生会将从这50 位同学中随机抽取7 位 小杰被抽到 参加首次活动的概率是 7 50 第4页 共 14页 解 学生会将从这50 位同学中随机抽取7 位 小杰被抽到参加首次活动的概率是 7 50 故答案为 7 50 14 已知某校学生 科技创新社团 成员的年龄与人数情况如下表所示 年龄 岁 1112131415 人数55161512
6、 那么 科技创新社团 成员年龄的中位数是14岁 解 从小到大排列此数据 第27 名成员的年龄是14 岁 所以这个小组成员年龄的中位数是14 故答案为14 15 如图 已知在 ABC 中 D E 分别是边AB 边 AC 的中点 那么 向量 用向量 表示为1 2 1 2 解 在 ABC 中 D E 分别是边AB 边 AC 的中点 1 2 1 2 1 2 1 2 故答案为 1 2 1 2 16 已知 E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点 AE AD 过点 E 作 AC 的垂线 交边 CD 于点 F 那么 FAD 22 5度 解 如图 在 Rt AEF 和 Rt ADF 中 第5页 共 14页
7、Rt AEF Rt ADF DAF EAF 四边形ABCD 为正方形 CAD 45 FAD 22 5 故答案为 22 5 17 在矩形 ABCD 中 AB 5 BC 12 点 A 在 B 上 如果 D 与 B 相交 且点 B 在 D 内 那么 D 的半径长可以等于14 答案不唯一 只需写出一个符合要求的数 解 矩形ABCD 中 AB 5 BC 12 AC BD 13 点 A 在 B 上 B 的半径为5 如果 D 与 B 相交 D 的半径 R 满足 8 R 18 点 B 在 D 内 R 13 13 R 18 14 符合要求 故答案为 14 答案不唯一 18 已知在 ABC 中 AB AC 8 B
8、AC 30 将 ABC 绕点 A 旋转 使点B 落在原 ABC 的点 C 处 此时点C 落在点 D 处 延长线段AD 交原 ABC 的边 BC 的延长线 于点 E 那么线段DE 的长等于4 3 4 解 作 CH AE 于 H 如图 AB AC 8 B ACB 1 2 180 BAC 1 2 180 30 75 第6页 共 14页 ABC 绕点 A 旋转 使点B 落在原 ABC 的点 C 处 此时点C 落在点 D 处 AD AB 8 CAD BAC 30 ACB CAD E E 75 30 45 在 Rt ACH 中 CAH 30 CH 1 2AC 4 AH 3CH 4 3 DH AD AH 8
9、 4 3 在 Rt CEH 中 E 45 EH CH 4 DE EH DH 4 8 4 3 4 3 4 故答案为4 3 4 三 解答题 19 10 分 先化简 再求值 2 2 4 4 2 1 2 其中 x 2 1 解 原式 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 当 x 2 1 时 原式 1 2 1 2 2 1 20 10 分 解不等式组 4 2 6 1 3 1 9 并把解集在数轴上表示出来 解 4 2 6 1 3 1 9 第7页 共 14页 解不等式 得 x 3 解不等式 得 x 2 不等式组的解集为 3 x 2 在数轴上表示不等式组的解集为 21 10 分 已知 如图 在平面直角坐标系
10、xOy 中 正比例函数y 4 3x 的图象经过点 A 点 A 的纵坐标为4 反比例函数y 的图象也经过点A 第一象限内的点B 在这个反比 例函数的图象上 过点B 作 BC x 轴 交 y 轴于点 C 且 AC AB 求 1 这个反比例函数的解析式 2 直线 AB 的表达式 解 正比例函数y 4 3 x 的图象经过点A 点 A 的纵坐标为4 点 A 的坐标为 3 4 反比例函数y 的图象经过点A m 12 反比例函数的解析式为 y 12 2 如图 连接AC AB 作 AD BC 于 D AC AB AD BC BC 2CD 6 点 B 的坐标为 6 2 设直线 AB 的表达式为 y kx b 由
11、题意得 3 4 6 2 第8页 共 14页 解得 2 3 6 直线 AB 的表达式为 y 2 3x 6 22 10 分 如图 MN 表示一段笔直的高架道路 线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼 已知点 A 到 MN 的距离为15 米 BA 的延长线与MN 相交于点 D 且 BDN 30 假 设汽车在高速道路上行驶时 周围39 米以内会受到噪音的影响 1 过点 A 作 MN 的垂线 垂足为点 H 如果汽车沿着从M 到 N 的方向在MN 上行驶 当汽车到达点P 处时 噪音开始影响这一排的居民楼 那么此时汽车与点H 的距离为多 少米 2 降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板 当汽车行驶到点Q
12、 时 它与这一 排居民楼的距离QC 为 39 米 那么对于这一排居民楼 高架道路旁安装的隔音板至少需 要多少米长 精确到1米 参考数据 3 1 7 解 1 如图 连接PA 由题意知 AP 39m 在直角 APH 中 PH 2 2 39 2 152 36 米 2 由题意知 隔音板的长度是PQ 的长度 在 Rt ADH 中 DH AH cot30 15 3 米 在 Rt CDQ 中 DQ 30 39 1 2 78 米 则 PQ PH HQ PH DQ DH 36 78 15 3 114 15 1 7 88 5 89 米 答 高架道路旁安装的隔音板至少需要89 米 第9页 共 14页 23 12 分
13、 已知 如图 平行四边形ABCD 的对角线相交于点O 点 E 在边 BC 的延长线 上 且 OE OB 连接 DE 1 求证 DE BE 2 如果 OE CD 求证 BD CE CD DE 证明 1 四边形ABCD 是平行四边形 BO OD OE OB OE OD OBE OEB OED ODE OBE OEB OED ODE 180 BEO DEO BED 90 DE BE 2 OE CD CEO DCE CDE DCE 90 CEO CDE OB OE DBE CDE BED BED BDE DCE BD CE CD DE 第10页 共 14页 24 12 分 已知在平面直角坐标系xOy
14、中 如图 抛物线y ax2 4 与 x 轴的负半轴相 交于点 A 与 y 轴相交于点B AB 2 5 点 P 在抛物线上 线段AP 与 y 轴的正半轴交 于点 C 线段 BP 与 x 轴相交于点D 设点 P 的横坐标为m 1 求这条抛物线的解析式 2 用含 m 的代数式表示线段CO 的长 3 当 tan ODC 3 2时 求 PAD 的正弦值 解 1 抛物线y ax2 4 与 y 轴相交于点B 点 B 的坐标是 0 4 OB 4 AB 2 5 OA 2 2 2 点 A 的坐标为 2 0 把 2 0 代入 y ax2 4 得 0 4a 4 解得 a 1 则抛物线的解析式是 y x2 4 2 方法
15、一 第11页 共 14页 点 P 的横坐标为m 点 P 的坐标为 m m2 4 过点 P 作 PE x 轴于点 E OE m PE m2 4 AE 2 m 2 4 2 2 CO 2m 4 方法二 点 P 在抛物线上 P m m2 4 设 PA 的直线方程为 y kx b 2 4 2 0 2 2 4 lPA y m 2 x 2m 4 CO 2m 4 3 方法一 tan ODC 3 2 3 2 OD 2 3OC 2 3 2m 4 4 8 3 ODB EDP 4 8 3 8 3 4 2 4 m1 1 舍去 m2 3 OC 2 3 4 2 OA 2 OA OC 第12页 共 14页 PAD 45 si
16、n PAD sin45 2 2 方法二 P m m2 4 B 0 4 lPB y mx 4 D 4 0 tan ODC 3 2 3 2 OC 2m 4 OD 4 8 3 线段 AP 与 y 轴的正半轴交于点C OC 2m 4 m 2 4 8 3 4 经整理 m2 2m 3 0 m1 1 舍去 m2 3 P 3 5 lPA y x 2 PAD 45 sin PAD 2 2 25 14 分 已知 如图 AB 是半圆 O 的直径 弦CD AB 动点 P Q 分别在线段OC CD 上 且 DQ OP AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 与弦 CD 相交于点F 点 F 第13页 共 14页 与点 C D 不重合 AB 20 cos AOC 4 5 设 OP x CPF 的面积为 y 1 求证 AP OQ 2 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出它的定义域 3 当 OPE 是直角三角形时 求线段OP 的长 解 1 连接 OD 在 AOP 和 ODQ 中 AOP ODQ AP OQ 2 作 PH OA cos AOC 4 5 OH 4 5PO 4 5 x S AOP 1 2 AO PH 3x 又
