高数下总结

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1、序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！第八章向量代数与空间解析几何1. 平面的点法式方程：设平面过P（x0 ,yo , z0）,法向量，则平面方程为： 2. 平面法向量一般求法：一般法向量与俩向量，则 ，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由求第九章多元函数微分学1. 二元函数：2. 二元函数的极限：求法与一元基本一致，下判断其存在性：一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取，等简单路线，若结果与K有关则极限不存在（注意一定要将给消掉）例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值（1） （2

2、） （3） 解：（1）取，则原式=，与K有关，故极限不存在 （2）取。则原式=，与K有关，故极限不存在 （3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求 原式= = = （用了第二个重要极限）3. 二元函数连续性：在连续等价于 4.偏导数求法：对x求则把y看成常数，反之亦然例.求 （为二阶偏导）解. 5.全微分几个概念间关系1 可微函数一定连续（不连续一定不可微）2 可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且 (全微分公式)3 函数有一阶连续偏导则函数一定可微4 偏导不存在一定不可微 例.讨论函数在是否可微 解. 思路：求其在点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微 取，则 = = 取决于，

3、故在 点极限不存在（即使存在若不等于0，该函数在点不连续，亦不可微），故 在点不连续，故函数在不可微6. 复合函数求导法则：分道相加，连线相乘 1 中间函数为一元： 则 其中 可用 表示（f对一个变量的偏导） 同理可用 表示，这样就避免了u、v在最后结果中出现了 例. ， 求 解.， 则2 中间函数为二元： 则 下面举一个特别重要的例子 例.具有二阶连续偏导，求 解.，则 由于具有二阶连续偏导，故 （表示对第2个变量v的偏导，其他同理） 故原式 这种题一定要弄懂！7. 隐函数微分法1 一个方程情形： 则 ， 则 例. 求全微分dz 解.令 则 ， 故2 方程组情形（有3个未知量时求的是导数，有

4、4个未知量时求的是偏导）方法：对方程两边同时对x或y或其他变量求（偏）导即可 例（1）求， （2）求， 解.（1）方程组两边同时对z求导得： 解得 （2）方程两边同时对x求偏导得： 解得 8. 方向导数与梯度1 方向导数：设二元函数在点处可微，则在点处 沿任意方向的方向导数都存在，且其值： 其中为对x轴正向的转角 例.求在点（1,0）处沿从点P(2,1)到点Q（3,0）方向的方向导数 解.方向即为向量所指方向，=，故 ，又 ， 所以， ， 代入公式即得 2 梯度：在梯度为， 它是一个向量。9. 多元函数求极值 方法：先求其一阶偏导为0的点（即驻点），再求其二阶偏导将所得驻点代入，若其值大于0则

5、此驻点是极值点，且当小于0时为极大值，大于0时为极小值例. 求其极值 解. 令二者等于0可得驻点为（2，-2） 二阶偏导：， 故=40 且=-2小于0 所以（2，-2）为其极大值点，代入的得极大值为810. 多元函数微分学几何应用v 曲面在某点切平面求法，举例说明（填空题极易考到）例.曲面在点（1,2,0）处的切平面方程是？解.先令 对其分别求x,y,z偏导得 故其在（1,2,0）切平面方程为 代入数据即得方程为2x+y-4=0v 曲面在某一点的法线为： 第9章 重积分 二重积分求法汇总：u 直角坐标法 X-型区域 ： Y-型区域 ： 例.计算二重积分： （1），其中为所围成的平面区域。 （2

6、）,其中为抛物线和直线所围成的平面区域。y2=xoyxy=x-2 解（1）区域如右图所示。由区域的形状，选择先积后积。即使用X-型区域联立方程，解得交点为：区域于是 (先求后面积分，由于对y积 = 分故可先把x看做常数，求 = 得的结果直接当做前面的被 积函数。另外后面积分中的 常数可直接拿到前面积分中去） （2）化为先对后对的累次积分，即Y型区域。这时为 因此 （先求后面的积分，由于求的是x积分，故先把y当做常数求，求得的结果直接当 做前面积分的被积函数，再继续求即可得结果） u 极坐标法 在极坐标中区域D可表示为（为区域上点和原点连线与X轴正向夹角，r为区域上点与原点的距离) 则 例.(1

7、)，其中为圆周和及直线所围成的在第一象限的区域。 解.采用极坐标系：积分区域如右图所示。y =(于是ox = = = = (2)，其中为圆周所围成的在区域。 解.采用极坐标系：积分区域如右图所示，xo 圆周的极坐标方程为， 则积分区域为 =( 于是 = =第11章 曲线积分 1.第一类曲线积分 计算公式：若曲线L方程为 则 dt 若给的曲线L方程为，则可看做 代入上述公式可得 dx 例.（1）计算积分，为圆周：（） 解.圆的参数方程为：，； 此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。（2）计算积分 其中是曲线 上介于 （0,0） 、（1,1）之间的一弧 解. 由于 所以 2.第二类曲线积分 若曲线方程

8、为 则 同样假如给的L方程为，则可看为 代入公式得 例.（1）计算曲线积分，其中是抛物线上从 点到点的一段。 解 （2）计算曲线积分，其中为圆周（按 逆时针方向绕行） 解：圆周参数方程为 3. 格林公式：若曲线L组成一个单连通区域D，P（x,y）,Q(x,y)在D上有一阶偏导数，则 （平面单连通域的概念设为平面区域，如果内任一闭曲线所围的部分都属于 ，则称为平面单连通区域，否则称为复连通区域） 例.计算：，L是沿圆周正向闭路 解. 所以 ， 由格林公式得 = =4. 平面曲线积分与积分路径无关的条件： 定理：若函数在区域有连续的偏导数，是单连通区域， 那么以下四个条件相互等价：（）对任一全部含

9、在内闭路, ；（）对任一含在内的曲线，曲线积分与路径无关（只依赖曲线的端点）；（）微分式在内是某一个函数的全微分，即 ；（） 在内处处成立. 一般我们用到的是，如果二者相等且满足是单连通区域，则积分与路径无关，这样就可以转换为两点间的其他简单曲线来做啦。 第12章 曲面积分1. 对面积的曲面积分化为投影域上的二重积分 计算方法与步骤： 1）画出曲面草图，写出曲面方程；2）做三代换： ； ； 曲面在面上的投影域将对面积的曲面积分化为二重积分；3）在投影域上计算二重积分 例.计算，其中是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所围成的四面体的边 界曲面。 解.在平面x=0，y=0，z=0及x+

10、y+z=1的部分依次记为，于是 对于，由于的方程x=0，从而 同理， ，对于，的方程x+y+z=1可化为 z=1-x-y，在XOY坐标面上投影区域： 所以 2. 对坐标的曲面积分 基本计算公式：曲面方程为z=z(x,y)，它在XOY坐标平面投影为D，则 当取曲面上侧时为正， 反之则取负 计算方法与步骤 1）利用高斯公式为封闭曲面，则 条件一：在空间区域内偏导连续， 条件二：曲面为闭曲面的外侧注：高斯公式用到了三重积分，你们应该不考，重点掌握下面这种方法2）合一投影法把，全部转换为，再利用基本计算公式求解由上学期知识可得 ，例.计算，其中为平面在第一卦限 部分的上侧。解. 由题，故 现在求（）在XOY坐标平面的投影区域D： 令Z=0可得它在XOY平面的投影平面方程为 由于在第一卦限，故其投影一定在XOY平面第一象限， 故其在XOY投影区域D可表示为： (X型区域) 故原式= (后面的积分与x无关，故可把x当做常数 拿到前面积分中) （即把后面积分结果乘到前面积分中去） = （这个积分高中就学过了，过程就不写了）3.斯托克斯公式考试很少涉及到