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1、处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题图1例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。例2设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，试求能够放入这
2、个棱锥的最大球的半径.（满足条件的球最大半径为.） 练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。（答案为：）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例3.在
3、球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。（，）练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：）【点评】“内切”和“外接”等
4、有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。四、近几年高考及高考摸拟中球与几何体的切接问题 1、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B C D2、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A B C D 3、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为_4、一个长方体的各顶
5、点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为（ ）5、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _6、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_7、已知球面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球的体积等于_8、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（） (A) (B) (C) (D) 9已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）10已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )(A) (B) (C) (D) 11平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 ( )（A） （B）4 （C）4 （D）612已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为( )ABCD13若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则_.
