高中数学必修2模块整体介绍

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1、高中数学必修2模块整体介绍【课程简介】 本课程通过三位专家的互动讨论对高中数学必修二模块进行了整体介绍。通过上下两讲，对立体几何初步、平面解析几何初步进行了数学分析，标准分析，重点分析，教育分析，学情分析，教材分析，教学建议，学法指导；并特别针对教学实施中的问题，即怎么帮助学生完成自主学习、如何帮助学生积累空间观念的经验，积累数形结合的经验不同的教学顺序安排的利弊等方面进行了详细的阐述。 ( 第一讲 ) 王尚志：首都师范大学 教授 张怡慈：首都师范大学 教授 张思明：北京大学附属中学 特级教师 张思明：各位老师大家好，欢迎大家继续参加高中数学新课程远程培训，我们这一讲是针对模块二做整体分析。请

2、允许我先来介绍一下到场的嘉宾：首都师范大学博士生导师王尚志教、首都师范大学张饴慈教授，欢迎两位老师参加我们的讨论。对于模块二的整体分析，我们也从前面提到的几个环节入手。我们先请两位老师给模块二教学上的定位做一个分析。 王尚志：我们像模块一一样，还强调几个主题词，第一个还是整体，第二个是从局部到整体到局部，第三件事情，我们希望老师和我们一起来思考几何的教育价值，到底我们的几何课程的教育价值在哪。下面我们按照这样一个顺序，数学分析，标准分析，重点分析，教育分析，学情分析，教材分析，教学建议，学法指导来讨论下面的问题。我们分两个课时来讲，第一个是立体几何初步，我们在第二个课时里主要分析平面解析几何初

3、步和“必修二”教学中应关注的几个问题。先请张老师对立体几何内容做一个数学的分析。 张饴慈：好，我们首先对立体几何的教学做一个分析，我想几何学和立体几何学主要是研究空间图形的科学，我想对这一点我们一定要有一个很好的认识，因为几何是一个很直观视觉的艺术，所以它也是一个培养逻辑思维的载体。但是我觉得在前一段几何教学里面，就把它侧重于培养逻辑思维载体，把它作为一个主要的任务，做了很多技巧性很高的题目，但是对它研究空间图形，要求我们培养学生一个空间想象的能力，认识图形、把握图形的能力有所忽略，实际上我们应该看到培养逻辑思维能力，是各个学科共同的任务。而几何学主要是培养学生把握图形、认识图形的能力，而这种

4、能力不仅是学习几何的一个基本能力，也是学习数学的基本能力。 所以我想一定要回归到这个问题，就是认识到几何学科到底是研究什么东西，以这个作为我们立体几何初步最重要的认识。其次就是研究几何的方法。从整个数学来说，除了传统从中学就开始学习综合几何方法以外，将来大学或者中学现在也涉及到变换的问题。另外在高中将来主要学习的是用代数方法讨论几何问题。解析几何、向量几何、代数方法都可以解决，所以研究几何是有好几种方法的。这样我们要看到现在的立体几何出的问题，我们用的是综合几何的方法，但是在后面我们要用代数方法来讨论几何的问题，所以这个问题的定位需要清楚，在立体几何初步里，主要任务是培养学生对空间图形的把握能

5、力，适当削弱了综合几何证明问题，一方面是因为综合几何的证明在整个数学里面，比如说他们的向量方法就不能比，向量方法不但是简单，是一个通性通法，而且它是一个作用非常大的方法，而综合几何虽然对逻辑思维能力有一定的作用，但是在后面的发展是有限的，能够对这个东西有一个比较整体的认识，就知道立体几何里面不把证明放在非常高的地位，而把认识图形放在主要问题的地位来看。 王尚志：我想补充张老师说的，就是综合几何大体上是这样来描述的，从我们通常所说的公理、定义出发，按照演绎的方式得到一些新的结论，这种方法通常我们所说的是综合几何的方法，而我们欧式几何大体上主要是按照综合几何的方法来展开的，但是也不尽然。 那么所谓

6、变换的方法，就是用我们通常所说的变换，比如我们通常所说的旋转、平移、对称都是变换，用这样一种视角来认识几何图形，我们通常叫变换几何，将来有相似，有射影，有所谓拓扑变换等等各种各样的变换来认识几何。 那么另外一个用代数的方法去讨论几何问题，讨论图形问题。我们老师比较熟悉的解析几何，就是找到曲线和方程之间的关系，然后用处理方程代数方法去研究这个问题，然后去解决这个几何问题，大体上需要经历这样一个过程，几何到代数，再到几何。另外我们想特别说一下向量的办法，因为向量进入高中的数学，应该说改变了整个高中几何课程的结构，也改变了我们对于运算的认识，这一件事情我们老师必须有一个清醒的认识，所以我想在这里多说

7、几句。 刚才张老师也说了，综合几何的办法我们觉得随着数学的发展，它将融在变换几何，或者解析几何，向量几何，包括后面代数拓扑方法之中，它不会凸显作为一个基本办法，在后期的课程中独立地出现，所以我想我们没有必要过分强调这个综合几何的办法，这是我们老师需要关注的一件事情。 另外我们需要认识，即或在欧式几何里，我们通常变换几何依然是非常重要的，比如说要证明通常我们所说的两个三角形全等是什么呢？首先我们是从重合开始说起的，重合就叫全等，那么怎么实现两个三角形重合呢？比如说三个边都相等，重合不重合？我们需要变换来解决这个问题，实际上我们有一个假设，一个三角形作为一个钢体，通过平移，通过旋转，通过反射，是不

8、变的。所以我们能使得不在同一个位置上的，两个三个边都相等的三角形能够重合，所以我们才说三个边相等的两个三角形是全等三角形。 所以我们老师必须要认清这些东西。 张饴慈：也就是说实际上欧式几何，是在钢体变换下保持性质不变的那一类性质。 王尚志：所以我们下面要特别强调一下向量几何，向量几何是我们高中一个新内容，同时也是改变高中数学内容结构的一个新的载体。因为向量之所以重要，我们可以从几个角度来说，第一向量是代数的，可以算。我记得张老师曾经讲过，向量可以做加法，平行四边形法则，或者说三角形法则，都可以体现向量的运算。另外向量还有点乘，向量还有内积，通常我们所说的数量积，点乘，将来我们还要学习向量的叉乘

9、，以及其他的向量运算。所以向量是一个具有丰富运算的载体，另外向量是个几何的东西，反映它是几何的东西，我觉得有两个维度，第一个可以帮助我们刻画几何的研究对象，可以帮助我们刻画点，可以帮助我们刻画直线，可以帮助我们刻画平面，简单的说一点一个方向可以唯一地确定，过这个点和这个向量垂直的唯一的一个平面。所以可以刻画它，所以可以得到平面向量方程，这是第一个角度。 第二个角度，在我们几何或者立体几何里研究什么东西？研究两个事情，一个是点线面的位置关系，而主要的位置关系是平行和垂直。另一个就是研究他们的度量关系，无非是长度、角度、面积、体积，在高中阶段主要是长度和角度。向量为我们研究位置关系，特别是平行和垂

10、直提供了非常方便的方法，比如说我们说向量在刻画垂直关系的时候，就是方向向量的点乘如果等于零，那么它就是垂直关系。平行关系的时候，就是方向向量共线就行了。那么同样向量可以帮助我们去解决距离和角度，所以我们看出作为向量来说，它是一个几何的对象。 第三件事，一个东西既是代数，又是几何，它就自然而然成为连接代数和几何的一个桥梁。 第四件事，就是向量有着丰富的物理学背景。 第五件事，向量是一个重要的数学模型，因此向量的重要性，我们老师必须给予足够的认识，这一点我们辅助材料有比较详细的论述。 那么，另外一件事，数学分析里张老师反复强调的，就是几何是培养学生空间想象力几何直观能力的，这不仅在学习几何中是重要

11、的，而且对于整个数学学习也是非常重要的。 张饴慈：我们整个高中几何也是要从整体来看，你看立体几何初步这一块，你要对他的内容从局部到整体，但是在整个高中来看，为什么我们后面要说向量，因为你对向量有这样的认识，才知道为什么立体几何初步这里面有些证明为什么我们要削弱了，为什么我们现在要强调空间想象能力，就是整个定位比较清楚，因为我们整个在中学里面，在必修二里面是立体几何初步和解析几何初步。那么除了这个以外，在必修部分里面我们要讲平面向量，然后到了选一选二里面，我们要讲空间向量和立体几何。 然后我们解析几何初步到了选修部分，我们要讲圆锥曲线，就是说整个这样一个结构我们要清楚的话，我们就不会过早的在立体

12、几何里面算一些度量问题，角的大小，距离问题。我想要对整体的结构有一个认识，就能对它有一个清楚的认识，很多东西很简单就能处理掉了，不会在这里用非常大的力量做这些。 王尚志：比如说我们通常所说，在现在的标准里面，关于平行和垂直判定性质，我们就不要求在立体几何初步里去证明，而放在空间向量与立体几何去证明，你要用向量的办法去处理这件事，就变得非常简洁，它的思路清晰，做起来也简单。这个对于我们整体把握几何课程，整体把握高中课题是非常重要的一件事情。 张饴慈：我想刚才说的也是我们现在课标里面对几何的定位问题，一定把立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象能力、几何直观能力和逻辑推理的能力。那么

13、我想前面这几个能力，是几何这门课所特有要培养的能力，逻辑推理能力也是我们几何的一部分，但是它是所有数学都共同的一个能力，我们并不是说不要逻辑推理能力，而是要把它放在一个适当的位置来讲。 王尚志：另外就是，我们在立体几何初步里面，讨论的一些位置关系，如果过早地强调用综合几何的办法去证明，可能会对一部分同学带来一定的困难和不必要的难度，所以这一点也是我们做这样一个选择的出发点。 张饴慈：实际上有了这样一些推理的论证，对学数学的人来说，或者对一个中学数学老师来说，可能需要把握这样一个证明，但是对于高中生来说，并不要求我们把握这么难的理论。我去年曾经在江西听了一堂课，他们请了一个外省很有经验的数学老师

14、，他总觉得标准说不要求证明判定定理，但培养逻辑思维还是应该来证明它，虽然标准不要求，虽然用的教材上没有这个证明，但是我觉得还是应该讲，结果他就在课堂上讲这个证明，自己讲着讲着，这个证明还没有讲对。有时候可以看到，这个证明还是很难的，既使对数学老师来说，也不见得是很容易的，何况对我们高中生来说，所以这个度要把握。 王尚志：特别是用综合几何的证明，有一些逻辑推理方面的要求，还是有一定的难度。我想在我们标准里面，还有一个内容的处理方式，有这么几句话，就是：直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算。特别是直观感知，我觉得这一件事情应该引起老师的注意，操作确认也是一样，有的时候让学生动动手，看看具体的图形

15、，这是非常重要的。实际上我们立体几何的图形，在我们生活周围经常可以碰到，它都是我们思考立体几何问题的一个具体模型，所以我们在课程里面，还特别强调所谓长方体。 张饴慈：关于直观感知，操作确认，有很多老师还是觉得不习惯，好像不证明总是不太好的，实际上就是和上次讲的必修一中指数函数和对数函数一样，我们也是直观感知，操作确认，也没有证明，在代数上就不觉得这不好，到了几何就觉得不好。我想这就是一个认识或者习惯的问题。 王尚志：我们在立体几何的标准里面，提出了用长方体模型贯穿始终，这是非常重要的。我想原因从数学上来说，是因为我们大部分所用的数学是在一个直角坐标系的框架下展开的，比如说我们将来大部分学的高等

16、数学、概率统计、数理方程、复变函数，大体上都是在直角坐标系这个框架下展开的，而直角坐标系这样一个框架，实际上可以通过一个长方体来体现它的价值。因此，我们大部分的研究几何图形的对象是发生在长方体里，这是不严格地说，因此帮助学生在脑子里建立长方体的模型，并且贯穿始终对于理解立体几何的问题是非常重要的一件事情，而且长方体是看得见，摸得着的，我们生活的教室里，我们学习的教室就是一个很好的长方体的模型， 我们既要帮助学生能在长方体内部来看待他们之间的关系，也能站在长方体的外部来看待图形之间的关系，这对于我们掌握和理解、解决一些立体几何图形问题是非常重要的。 张饴慈：因为长方体模型从向量观点来看，就是向量的基本定理。就是把一般的向量用三个简单的向量来表示，而且这三个互相正交的向量就是我们的长方体问题，这样一个思想，把一个复杂的东西用简单的东西来表示，来处理，这是一个非常重要的数学理论思想。从理论上来说也是比较深刻