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1、计算机编码技术 第二章计算机信息技术基础 第二单元 2 2计算机编码技术 2 2 1计算机编码与进位计数制 计算机最基本的功能计算机最基本的功能是进行数的计算和处理 计数通常把数的表达 记写和命名方法 称为 计数 数制对同一个数采用的各种不同记写方法和命名方法 称为 数制 数制是表示数的方法和规则 实际应用中的进制十进制 二进制 七进制 二十四进制 六十进制等等 表示一个数的计数方法 即在计数时使用不同的记号和命名数字的方法构成各种计数制 每一种计数制都使用一组特定的数字符号 通常把这些符号按序排列 由低位到高位进位 1 基数一种计数制系统允许使用的基本数字符号 又叫 数符 或 数码 的个数称
2、为 基数 例 十进制数的基数为10 数符分别为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 进位计数制 2 权 权也称 位权 是以基数为底的幂 例 在十进制数3296 45中 3 表示3000 3 10 2 表示200 2 10 4 表示0 4 4 10 1 位权展开式 乘权求和 任何一个数的值都可以按位权展开式表示 位权展开式又称为 乘权求和 对任意一个R进制数N kI 1 K1K0K 1 K m K R Kn 1 Rn 1 Kn 2 Rn 2 K0 R0 K 1 R 1 K 2 R 2 K m R m 可以表示为 说明其中 R为基数 可以表示为2 8 10 16 例2 1 十进制数3296
3、45按位权展开式为 3296 45 3 10 2 10 9 10 6 100 4 10 1 5 10 22 计算机编码计算机储存信息时是用字节为单位的 利用字节可以实现对欲记录在计算机系统中的信息符号一一编号 这就是计算机编码 Encoding 编码的目的编码的目的是解决各种信息按照什么方法和规则表示成二进制数码0 1代码串的问题 2 2 2常用进位计数制 基数为10 数符为0 9的计数系统 称为 十进制 十进制计数规则 基数 10 由数符0 1 2 3 4 5 6 7 8 9构成 逢十进一十进制各数位的权是以10为底数的幂 位权 10 x 十进制数整数部分的位权从最低位开始依次是100 10
4、1 102 103 104 小数部分的位权从最高位开始依次是10 1 10 2 10 3 10 4 从位权角度看 任意一个十进制数可以展开成数字与其位权乘积的多项式之和 A an 1 10n 1 a1 101 a0 100 a 1 10 1 a 2 10 2 a m 10 m 其中 ai i n 2 1 0 1 2 m 为0 9中任何一个数字符号 例2 2 十进制数3450 02可以写成如下加权展开多项式 3450 02 3 10 4 10 5 10 0 100 0 10 1 2 10 2 提示 系统默认对十进制数不加下标 2 二进制数 B 基数为2 数符为0 1的计数系统 称为 二进制 二进
5、制计数规则 基数 2 由数符0 1构成 逢二进一 位权 2x二进制各数位的权是以2为底数的幂 二进制数整数部分的位权从最低位开始依次是20 21 22 23 24 二进制小数部分的位权从最高位开始依次是2 1 2 2 2 3 2 4 二进制数表示方法 从位权角度看 任意一个二进制数同样可以用多项式之和来表示 A2 an 1 2n 1 a1 21 a0 20 a 1 2 1 a 2 22 a m 2 m 其中 ai i n 2 1 0 1 2 m 为0 1中任何一个数字符号 例2 3 二进制数 1011 01 2可以写成如下多项式 1011 01 2 1 23 0 22 1 21 1 20 0
6、2 1 1 2 2 十进制与二进制之间的换算关系 27 128 26 64 25 32 24 16 23 8 22 4 21 2 20 1 表2 2 1列出了二进制数位权与十进制数值的对应关系 表2 2 1二进制数位权与十进制数值的对应关系 提示 二进制数必须加下标如 1011 01 2 或加数制符如 1011 11 B来表示 3 八进制 O 基数为8 数符为0 7的计数系统 称为 八进制 八进制计数规则 基数 8 数码 0 1 2 3 4 5 6 7 逢八进一 位权 8x八进制各数位的权是以8为底数的幂 八进制数整数部分的位权从最低位开始依次是80 81 82 83 84 八进制小数部分的位
7、权从最高位开始依次是8 1 8 2 8 3 8 4 八进制数表示方法从位权角度看 任意一个八进制数同样可以用多项式之和来表示 A8 an 1 8n 1 a1 81 a0 80 a 1 8 1 a 2 82 a m 8 m 其中 ai i n 2 1 0 1 2 m 为0 7中任何一个数字符号 例2 4 八进制数 4537 71 8 按位权相加展开式为 4537 71 8 4 8 5 8 3 8 7 80 7 8 1 1 8 2提示 八进制数必须加下标如 4537 71 8 或加数制符如 4537 71 O来表示 4 十六进制 H 基数为16 数符为0 9以及A F的计数系统 称为 十六进制 十
8、六进制计数规则 基数 16 数码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 逢十六进一 位权 16x十六进制各数位的权是以16为底数的幂 十六进制数整数部分的位权从最低位开始依次是160 161 162 163 164 十六进制小数部分的位权从最高位开始依次是16 1 16 2 16 3 16 4 十六进制各数位的权是以16为底数的幂 十六进制数位权与十进制数值的对应关系A B C D E F表示的数值与十进制数对应关系如表2 2 2所示 表2 2 2十六进制数位权与十进制数值的对应关系 从位权角度看 任意一个十六进制数同样可以用多项式之和来表示 A16 an 1 16n
9、 1 a1 161 a0 160 a 1 16 1 a 2 162 a m 16 m 其中 ai i n 2 1 0 1 2 m 为0 9以及A F中任何一个数字符号 例2 5 十六进制数 34AF 16 按位权展开式为 34AF 4 16 3 16 4 16 10 16 15 160 4 16 1提示 十六进制数必须加下标如 34AF 4 16 或加数制符如 34AF 4 H来表示 十六进制数表示方法 2 2 3在计算机内部采用二进制 优点 1 易于用器件实现 二进制只有0和1两个状态电子元件就可以用对立的两个状态来表示 可用自然界存在的两种对立的物理状态表示 2 二进制数运算简便 二进制数
10、的运算法则比其他进制简单加法0 0 0乘法0 0 00 1 1 0 10 1 1 0 01 1 101 1 13 易于实现逻辑运算 采用二进制可以进行逻辑运算 使逻辑代数和逻辑电路成为计算机电路设计的数学基础 2 2 4不同进位计数制之间的转换 当使用八进制表示一个位数较多的二进制数时 位数可以减少到原来的三分之一 当使用十六进制表示一个位数较多的二进制数时 位数可以减少到原来的四分之一 1 二进制数与十进制数的转换 二进制数转换为十进制数规则 一个二进制数的加权展开式就是该二进制数所对应的十进制数 方法一 例2 6 110111 2 1 25 1 24 0 2 1 22 1 2 1 20 5
11、5 例2 7 1011 01 2 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 11 25 方法二例1 求 11011 2 10 168421位权值11011二进制数12081627十进制数 所以 11011 2 27 10 8421 0 50 250 125位权值1011 101二进制数0 12500 5120811 625十进制 例2 求 1011 101 2 10 所以 1011 101 2 11 625 10 21571余数位数27801a0 123910a1 021911a2 12911a3 12401a4 12200a5 0110a6 01a7 1 十进制数转换为
12、二进制数规则 十进制整数转换成二进制整数方法 除基取余法 除2 取余数 倒排 例2 8 把十进制数157转换为二进制数 157 10 a7a6a5a4a3a2a1a0 2 10011101 2 十进制小数转换成二进制小数方法 乘基取整法 乘2 取整数 顺排 例 把十进制小数0 625转换成二进制小数 整数部分位数0 625 2 1 250 0 250 2 0 500 1 a 1 1 0 500 2 1 000 0 a 2 0 1 a 3 1 0 000转换结束所以 0 625 10 0 a 1a 2a 3 2 0 101 2 把即有整数又有小数的十进制数转换成二进制数方法 将整数部分和小数部分
13、分别转换然后相加 例 157 10 10011101 2 0 625 10 0 101 2即 157 625 10 10011101 101 22 八进制数与十进制数的转换 八进制数转换为十进制数的规则类似于二进制 例2 10 把 25 1 8转换为十进制数 25 1 8 2 8 5 80 1 8 1 21 125 十进制数转换为八进制数规则 整数部分 除8 取余数 倒排 小数部分 乘8 取整数 顺排 例2 11 把69 45转换为八进制数 先把整数部分69转换为八进制数 得到105 69 8 8 5 8 1 0 8 0 1 余数位数 倒排 5a0 5 0a1 0 1a2 1 所以 69 10
14、 a2a1a0 8 105 8 再把小数部分0 45转换为八进制数 0 45 8 3 60 取整数30 60 8 4 80 取整数40 80 8 6 40 取整数60 40 8 3 20 取整数30 20 8 1 60 取整数1 顺排 综合 和 最终转换结果为 69 45 105 34631 8 a 1 3 a 2 4 a 3 6 a 4 3 a 5 1 所以 0 45 10 a 1a 2a 3a 4a 5 8 0 34631 8 十六进制数转换为十进制数的规则类似二进制和八进制 例2 12 把 8FB 8 16转换为十进制数 8FB 8 16 8 162 15 161 11 160 8 16
15、 1 2299 5 十进制数转换为十六进制数规则 整数部分 除16 取余数 倒排 小数部分 乘16 取整数 顺排 3 十六进制数与十进制数的转换 6a1 6 例2 13 把十进制数100 78125转换为十六进制数 先把整数部分100转换为十六进制数 得到64 100 16 6 4 16 6 0 余数位数 倒排 4a0 4 所以 100 10 a1a0 16 64 16 再把小数部分0 78125转换为十六进制数 得到0 C8 0 78125 16 12 50 取整数12 C 0 50000 16 8 00 取整数8 a 1 C a 2 8 综合 和 最终转换结果为 100 78125 64
16、C8 16 顺排 所以 0 78125 10 a 1a 2 16 0 C8 16 4 二进制数与八进制数的转换 二进制数转换为八进制数规则 方法 从二进制数的小数点位置开始 分别向前向后每三位划分为一组 末尾不足三位补0 再把各组数 每组三位 分别转换为相应的八进制数 小数点照写 便得到等值的八进制数 例2 14 把 1101 0011 2转换为八进制数 001101 001100 15 14转换结果为 1101 0011 2 15 14 8 向前分组 向后分组 八进制数转换为二进制数规则 把八进制数转换为相应的三位二进制数 然后从左到右连续写起来即成 小数点照写 例2 15 把 10576 24 8转换为二进制数 10576 24001000101111110 010100转换结果为 10576 24 8 001000101111110 010100 2 5 二进制数与十六进制数的转换 二进制数转换为十六进制数规则 从二进制数的小数点位置开始 分别向前向后每四位划分为一组 不足三位补0 再把各组数 每组四位 分别转换为相应的十六进制数 小数点照写 便得到等值的十六进制数 例2 16
