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1、习题 3-1 1. 验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点。解：显然函数在区间上连续，在上可导，且有所以函数在区间上满足罗尔定理，则有，。2. 验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的。解：函数在区间上连续，在上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有，即。3. 函数与在区间上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值。解：函数与在区间上连续，在区间上可导，则满足柯西中值定理，则有，即。4. 若4次方程有4个不同的实根，证明的所有根皆为实根。证明：设，的四个实根分别为，且，则函数在上满足罗尔定理的条件，则在内至少存在一点，使得。这说明方程至
2、少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。5. 设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得 。解：构造辅助函数，而满足罗尔定理的条件，所以有在，至少存在一点，即。6. 试用拉格朗日中值定理证明：（1）；（2）当时，。解：（1）设，则在区间上满足拉格朗日中值定理，则有，又因为，则，。 （2）设，则在区间上满足拉格朗日中值定理，则有 ，又因为，则，即。7. 证明等式：。证明：设，则有，所以，代入，得到。8.设在上具有二阶导数，且。若。证明：至少存在一点，使得。 证明：因为，在上应用罗尔定理，有，又因为，所以在上应用罗尔定理，有，。9.设在上连续，在内可导，证明：在内存在
3、点和，使得 。证明：构造辅助函数，与在内满足柯西中值定理，即有，而在内满足拉格朗日中值定理，所以，即。习题 3-21. 用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； (8) ; （9）；（10）； （11）； （12）；（13）; (14) 解：（1）（型）； （2）（型）； （3）（型）； ； （4）（型）； （5）（型）； （6）（型）； （7）（型）； （8）（型）； （9）（型）； ； （10）（型）； ； （11）（型）； ； （12）（型）； （13）（型）； ；（14）（型）；。2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。（1）； （
4、2）。解：（1）用洛必达法则求：，求不出用一般的方法：；（2）用洛必达法则求：， 求不出用一般的方法：。3.设在处二阶可导，且，试确定的值使在处可导，并求，其中 解：因为函数在处二阶可导，则函数在处一定连续，即有，又因为函数在处可导，所以函数在处也一定连续，即有 根据导数的定义以及洛必达法则，有 。习题 3-31. 按的幂展开多项式。解：记，则而。2. 求函数按的幂展开的带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式。解： ， ， ， （）3. 求函数按的幂展开的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式。解：， ， ， （）。4. 求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式。解：，而， ；。5. 验证当时，按公式计算的近似
5、值时，所产生的误差小于，并求的近似值，使误差小于。解：因为，当时，余项误差，又近似仅三项，每项取精确到0.001进行计算，三项的舍入误差为，所以用的三阶迈克劳林多项式计算的近似值，总误差为。6. 利用泰勒公式求下列极限：（1）； （2）解：（1） 。 (2) = 习题 3-41. 讨论函数在上的单调性。解：因为所以函数在上是单调递增的。2. 求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）原函数的定义域为 又因为，得在内，所以函数在上单调递增。在内，所以函数在上单调递减。在内，所以函数在上单调递增。 （2）原函数的定义域为 又因为，得，且在处函数不可
6、导。在内，所以函数在上单调增加。在内，所以函数在上单调减少。 在内，所以函数在上单调增加。 （3）原函数的定义域为 又因为，得在内，所以函数在上单调增加；在内，所以函数在上单调减少；在内，所以函数在上单调增加。 （4）原函数的定义域为； 又因为，得（舍去），；在内，所以函数在上是单调递减的；在内，所以函数在上是单调递增的。 （5）原函数的定义域为 又因为，得在内，所以函数在上是单调递增的；在内，所以函数在上是单调递减的；在内，所以函数在上是单调递增的。 （6）原函数的定义域为 又因为，得在内，所以函数在上是单调递增的。在内，所以函数在上是单调递减的。在内，所以函数在上是单调递增。3. 证明下列
7、不等式： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； （4）当时，。证明：（1）构造辅助函数，因为 当时，所以函数在上单调递增，即当时，有，即。也即。（2）构造辅助函数，因为 当时，所以函数在上单调递增，即当时，有，即。也即。（3） 证明：令，则，而，当，再记，有又单调增加，所以从而，单调增加，故。（4）证明：令，则，而，当时，单调增加。故，即。4证明方程在区间内有且只有一个实根。证明：令，因为在闭区间上连续，且。根据零点定理，在内有一零点，另一方面，对于任意实数，有，所以在内单调增加，因此，曲线与轴有且只有一个实根。5. 求下列函数的的凹凸区间以及拐点： （1）； （2）； （3）； （
8、4）； （5）； （6）. 解：（1）函数的定义域为又因为，得到在内，所以函数在此区间上是凹的，在内，所以函数在此区间上是凸的。在内，所以函数在此区间上是凹的。且点和点是曲线的拐点。 （2）函数的定义域为。因为，易见函数在处不可导。当时，曲线是凸的；当时，曲线是凹的。点为曲线的拐点。（3）函数的定义域为。因为，得。当时，曲线是凸的；当时，曲线是凹的。点为曲线的拐点。 （4）函数的定义域为。因为。所以当时，曲线是凹的。 （5）函数的定义域为又因为，得到在内，所以函数在此区间上是凸的在内，所以函数在此区间上是凹的，在内，所以函数在此区间上是凸的。在内，所以函数在此区间上是凹的。且点是曲线的拐点。
9、（6）函数的定义域为。因为，得。当时，曲线是凸的；当时，曲线是凹的。点为曲线的拐点。6. 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式： （1） ； （2） 。证明：（1）作辅助函数当时，所以在内是凹的。由凹性定义，有。 （2）作辅助函数，因为，所以在内是凸的。由凸性定义，有。7. 问及为何值时，点为曲线的拐点？解：因为点在曲线上，所以有。又因为且点是曲线的拐点，所以有即得。8. 试确定曲线中的、，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上。解：因为曲线在处曲线由水平切线，即得： （1）又因为为拐点，所以有，得： （2）且得： （3）点在曲线上，所以有。得： （4）联立方程（1）（2）（3）（4）得
10、到： 。习题3-51 求下列函数的极值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。解：（1）函数在内连续，且，得，又因为，所以极大值，极小值。 （2）函数在内连续，且，得，在点不可导。在内，；在内，。所以是一个极大值点；在内，所以点是一个极小值点。极大值为，极小值为。(3) 函数在内连续，且，得，又因为，当，所以函数在这些点处取得极小值，极小值；当，所以函数在这些点处取得极大值，极大值。 （4）函数在内连续，且，得，因为，所以函数没有极值点。 （5）函数的定义域为，且，得。又因为函数在这些点的左右两边都有，所以函数没有极值点。 （6）函数在内连续，且，因为，所以函数没有极值点
11、。2. 求下列函数的最值： （1），； （2），。解：（1）函数在上连续且可导，且，得。因为所以在有最大值，在处有最小值。 （2）函数在上连续，且，得，且在点处不可导。又因为所以最大值为，最小值为。3.试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极值？并求此极值。解：因为，得，将代入得，又因为，且，所以函数在这点取得极小值，为。4. 一正方形铁皮，边长为厘米，从它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部分做成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？ 解：设截下的小正方形边长为厘米，则盒子的容积为因为，得（舍去）又因为，且，所以时，体积有极大值，而除此之外之内
12、，体积没有其他的极值，所以是最大值，当厘米时，盒子的最大体积为（立方厘米）。5. 某水厂要造一个容积为V的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径r和高h，使得所用的材料最省？解：由圆柱体积及全表面积公式，得所需材料面积为，又因为，则，下面求此函数的最小值:令，得又因为，所以函数在此点取得唯一的极值也为最小值，由，得，所以当圆柱体等于其底直径时，所用材料最省。6. 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金为每月180元时，公寓可全部出租出去，当每月租金每增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花20元的维修费用。试问房租定为多少可获得最大收入？ 解：设房租为每月元，则租出去的房子为套，每月的总收入为 由 解方程，得唯一驻点。所以每月每套租金为元时收入最大。最大收入为。习题 3-61. 求下列函数的渐进线：（1）； （2）； （3）。解：（1）由可知是曲线的铅垂渐近线。 由，可知是曲线的斜渐近线。 （2）由，可知是曲线的水平渐近线。由，可知是曲线的铅直渐近线。无斜渐近线。
