《微积分吴迪光版答案chap 08 习题 解答(春季).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分吴迪光版答案chap 08 习题 解答(春季).pdf（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 矢量代数 空间解析几何 题题 9 p48 1 已知 a b 是非零矢量 求它们的夹角平分线上的单位矢量 e 已知 a b 是非零矢量 求它们的夹角平分线上的单位矢量 e a b a b 0 0 A B a b a b a b 0 0 0 0 c 解 解 如图 c 如图 c a a0 b b0 2 再将 c 单位化即可 再将 c 单位化即可 题题 11 p48 2 已知 2 已知 求求 11 a r 7 b r 18 ba r r ba r r 证明 证明 因因 故 故a与同向 于是可设与同向 于是可设 b a ba r r r r r b r 于是于是 4 ba r r b a r r
2、 注 或写为 注 或写为 b r a 11 7 r 因此 因此 ba r r 4 a 1 11 7 r 题题 14 p48 3 用矢量方法证明 可作一三角形 使它的各边分别平行且等于已知三角形的三条中线 3 用矢量方法证明 可作一三角形 使它的各边分别平行且等于已知三角形的三条中线 证明 证明 A B C D E F 只需证明这三条中线矢量首尾相接 即证只需证明这三条中线矢量首尾相接 即证 0ADBECF r 事实上 事实上 ABCAAFCACF 2 1 CABCCEBCBE 2 1 1 BCABBDABAD 2 1 再根据下式 便得结论 再根据下式 便得结论 0CABCAB r 题题 15
3、p48 4 设 4 设 不共线 且不共线 且a r b r bac r rr c b a r r r 有共同起点 则有共同起点 则ac b r r r 终点在同一直线的充要条件为 终点在同一直线的充要条件为 1 证明 证明 充分性 若充分性 若1 则 则bac r rr b 1 a r r 于是于是c ab 1 a r r rr 因此与 因此与ac rr ab r r 共线 即共线 即c b a r r r 有共同起点时 有共同起点时 c b a r r r 终点在同一直线上 终点在同一直线上 必要性 此时由已知可知与必要性 此时由已知可知与ac rr ab r r 共线 又共线 又b0a r
4、 r r a r b r 不共线不共线 于是有唯一的数于是有唯一的数 k 使得使得 ba 1 r r k ab r r 或写为 或写为ba 1 r r akbk r r 再次根据 再次根据 不共线 不共线 因此因此 a r b r k k 1 于是 于是 1 题题 16 p48 5 在四面体 5 在四面体 OABC 中 设中 设 cOC bOB aOA v v r P 为 为 ABC 内任一点 则内任一点 则cbaOP r r r 且 且 1 证 1 证 1 AB C D E F P O 因因 P 为 为 ABC 内部一点 因此内部一点 因此PA PB PC三矢量共面 即三矢量共面 即OPOC
5、 OPOB OP OA三矢量共 面 因此有不全为零的数 三矢量共 面 因此有不全为零的数 k l m 使得使得 0 OPOC m OPOB l OPOA k r 或写为 或写为 OCmOBlOAkOP mlk 又又 k l m 不为不为 0 否则否则OC OB OA共面 于是共面 于是 OCOBOAOP mlk m mlk l mlk k 整理后即可得结论 整理后即可得结论 证 2 证 2 2 APOAOP BPOBOP CPOCOP 于是于是 CPBPAP OCOBOA OP 3 1 3 1 又又 APBABP APCACP 而而AP因位于三角形内 可被不共线的因位于三角形内 可被不共线的A
6、C AB唯一线性表示 即设有 m n 使得 唯一线性表示 即设有 m n 使得 ACnABmAP 于是 于是 CPBPAP OCOBOA OP 3 1 3 1 CABA AP OCOBOA 3 1 3 1 CABA ACnABm OCOBOA 3 1 3 1 caba ancnambm cba 3 1 3 1 rr r rrrr r r r r cnbma nm1 r r r 整理后即可得结论 整理后即可得结论 题题 20 p49 6 在第三卦限内求一点 使得它与 x y z 轴的距离为 6 在第三卦限内求一点 使得它与 x y z 轴的距离为132d 53d 5 zyx d 证明 证明 x
7、y z 0 第三卦限内的点满足 x 0 y0 又 第三卦限内的点满足 x 0 y0 又 132yxd 53zxd 5zyd 22 z 22 y 22 x 据此可求得 x y z 据此可求得 x y z 题题 26 p49 7 求一矢量 其方向和 求一矢量 其方向和 2 2 1 b 4 3 0 a r r 的角平分线平行 其模为的角平分线平行 其模为5 解 解 4 3 0 5 1 a0 r 2 2 1 3 1 0 b r 3 角平分线平行矢量为角平分线平行矢量为 00 ba r r 求求 m 使得使得 m a 00 b r r 5 即可得结论 即可得结论 题题 28 p49 8 一个矢量的三个方
8、向角之和等于 180 8 一个矢量的三个方向角之和等于 180 0 0吗 它们存在什么关系 吗 它们存在什么关系 证明 证明 不等 不等 除了方向余弦平方和 1 其它没有关系 除了方向余弦平方和 1 其它没有关系 题题 32 p49 9 求以 A 1 0 2 B 0 3 2 C 4 1 6 为顶点的三角形的重心坐标 9 求以 A 1 0 2 B 0 3 2 C 4 1 6 为顶点的三角形的重心坐标 证明 证明 设重心为 P 由下式可求出 P 的坐标设重心为 P 由下式可求出 P 的坐标 OCOBOA OP 3 1 题题 34 p49 10 已知 已知a两两成角 且两两成角 且 4 c b r
9、r r o 60a r b r 2 c r 6 求求 cba r r r 解 解 cba r r r cba cba r r rr r r ca2bc2ba2 c b a 222 rr r r r rr r r ooo222 60cos c a 260cos b c 260cos b a 2 c b a rr r r r rr r r 题题 43 p50 11 矢量 矢量a具有相等的模 且两两所成的角相等 若具有相等的模 且两两所成的角相等 若ac b r r r kjb ji rrrrr r 求 求 c r 证明 证明 易知易知2 c r 且 且1bacacb r rrrr r 因为模相等
10、角相等因为模相等 角相等 若设若设k tj si rc rrr r 则 则 2tsr 1ts 1sr 222 解得 s 0 或 s 解得 s 0 或 s 3 4 于是 于是 1 0 1 或或c r c r 3 1 1 4 1 题题 52 p50 12 求以矢量 求以矢量a为邻边的平行四边形的二对角线夹角的正弦为邻边的平行四边形的二对角线夹角的正弦 1 2 1 b 1 1 2 r r 证明 证明 4 B a r b r A D C H baAB r r 3 1 0 3 1 0 0 1 3 HB 2 1 abDC r r 1 3 2 1 3 2 2 3 1 HC 2 1 而 而 HCHB 231
11、013 kji 4 1 rrr k10j6i2 4 1 rrr 于是又于是又 sin HC HB HCHB 140 10 14 140 10 14 sin 所以 所以 sin 1 题题 53 p50 13 已知 13 已知a 3 0 1 3 0 1 1 4 2 r b v c v 0 3 2 1 求 1 求 a r b v c v v 2 求 2 求 a r bc v v 3 求以 为棱的平行六面体的体积 3 求以 为棱的平行六面体的体积 a r bc v 解 解 1 用行列式求 略 1 用行列式求 略 2 用二重矢积 不要求 略 2 用二重矢积 不要求 略 3 体积 V 3 体积 V a r
12、 过程略 过程略 b v c v 题题 54 p50 14 求以 A 1 0 0 B 3 5 7 C 5 9 2 D 1 2 6 为顶点的四面体体积 14 求以 A 1 0 0 B 3 5 7 C 5 9 2 D 1 2 6 为顶点的四面体体积 解 解 先求先求AD AC AB为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积 V 则以以上四点为顶点的四面体体积 则以以上四点为顶点的四面体体积 V 6 1 过程略 过程略 题题 56 p51 15 已知 a b c 不共线 则它们的和为零矢量的充要条件为 a b b c c a 15 已知 a b c 不共线 则它们的和为零矢量的充要条件为 a b
13、b c c a 解 解 若它们的和为零矢量 即 a b c 0 则 a c b 于是 若它们的和为零矢量 即 a b c 0 则 a c b 于是 a b b c a b c b a c b b b 0 a b b c a b c b a c b b b 0 故 a b b c 0 即 a b b c 同理可证其它结论 故 a b b c 0 即 a b b c 同理可证其它结论 反之 若 a b b c c a 则 a c b 0 即有数 m 使得 a c mb 或 a mb c 再利用 b c c a 可求得 反之 若 a b b c c a 则 a c b 0 即有数 m 使得 a c
14、mb 或 a mb c 再利用 b c c a 可求得 b c c mb c mc b m b c 所以 m 1 故 a b c 0 b c c mb c mc b m b c 所以 m 1 故 a b c 0 5 题题 57 p51 16 已知 a b 计算 a 16 已知 a b 计算 a a a a a a ba b 解 解 由 a 由 a b cb c acac b b abab c 知 c 知 a a a ba b abab a a aaaa b b a a 2 b b a a a a a a a ba b a a a a a a 2 b b a a 2 a a a ba b a a
15、 4 b b 题题 59 p51 17 直线 17 直线L 1 m 1z 2 1y 1 1x 与直线 与直线 2 L 1 z 1 1y 1 1x 相交于一点 求相交于一点 求 m 并写出交点坐标 并写出交点坐标 解 解 由由L得得 x z 1 y z 1 代入代入L方程 可求出方程 可求出 m 21 4 5 z 6 且交点为且交点为 5 7 6 题题 66 p51 18 求过 P 1 2 3 垂直于 18 求过 P 1 2 3 垂直于 3 2 6 r 且与直线且与直线 L 5 3z 4 1y 3 1x 相交的直线方程相交的直线方程 L 证明 证明 设所求直线设所求直线 L 的方向矢量为 a b
16、 c 则由的方向矢量为 a b c 则由v r v r r 于是于是 v r r 0 即即 6a 2b 3c 0 由由 L 与与 L 相交 于是两直线共面 于是对于直线相交 于是两直线共面 于是对于直线 L 上的点上的点 Q 1 1 3 方向方向 v 3 4 5 3 4 5 0v vPQ r 即 即0 cba 543 632 或写为 9a 28b 17c 0 或写为 9a 28b 17c 0 由以上两式可求得 a b c 再用点向式可得由以上两式可求得 a b c 再用点向式可得 L 的方程 的方程 题题 68 p51 19 求 P 2 5 1 在直线 L 19 求 P 2 5 1 在直线 L 1 2z 1 y 1 4x 上的投影点上的投影点 P 的坐标 的坐标 解 解 根据点在直线上投影的定义根据点在直线上投影的定义 1 求出过求出过 P 且和且和 L 垂直的平面垂直的平面 2 求出求出 L 和的交点和的交点 P 即为 即为 P 在在 L 上的投影点 上的投影点 题题 69 p51 20 求点 M 3 1 4 在平面 4x 3y 7z 55 0 上的投影点的坐标 20 求点 M 3
