《应用随机过程第3章习题简答.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用随机过程第3章习题简答.pdf（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、随机过程随机过程 第第 3 章泊松过程习题简答章泊松过程习题简答 教材教材 P16 习题习题 2 4 5 10 11 13 15 17 21 4 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1 S2 S3的联合分布 解 设事件到达的时间间隔为 0 n Xn 则有 n X独立同分布于参数为 的 指数分布 进而 123 X XX的联合分布函数为 123 3 123112233 1 1 it XXX i Ft t tP Xt XtXte 123 X XX的联合密度为 123 123 3 123 ttt XXX ft t te 令 11 221 332 ts tss tss 则 3 3 100 1101 011
2、 i j t J s 故而 1 n ni i SX n 1 2 3的联合密度为 3 123123 3 123 123 12132 0 0 s S SSXXX esss fs s sfs ss ss other 5 公交车按速率为 的泊松过程达到某个车站 某人从车站上车开始估计到 家需要时间 R 而步行回家的时间是 W 它的策略是 到达车站时等待一段时 间 s 若在此时间内公交车还未到达 则步行回家 1 计算他到家的平均时间 2 证明 若 W 1 R 则它在 s 时最小 即应该继续等车 而 W 1 R 时 一切的 s 值 给出相同的期望时间 3 对为什么只需考虑 s 0 和 s 的情形给出一个直
3、观解释 解 将某人到达车站的时刻记为 t 0 时刻 则第 1 辆公交车到达的时刻 1 SE 依他的策略 他到家的时间 11 1 SRSs T sWSs 1 11 0 s SS s E TtR ft dtsW ft dt 1 1 s WReR 2 d E T ds 1 s WRe 当 W 1 R 时 0 d E T ds 平均到家时间是 s 的减函数 所以 1 的 期望时间在 s 时最小 而 W 1 R 时 E T 1 R 即任意 s 值都给出相同的期望时间 3 s 0 表示不等公交车 直接步行回家 而 s 则表示无条件等车 一 定搭公交车回家 10 设公交车在时刻 T 发车 而乘客按速率为 的
4、泊松过程来到车站 证明 在发车前所有顾客的总候车时间的平均值是 2 1 2 T 证明 设 0 N t t 表示时刻 0 t 内来到车站的乘客人数 则在 N Tn 的条 件下 乘客到达时刻 S1 S2 Sn的联合密度函数为 12 123 0 0 n n n Tsss f s ss other 恰是区间 0 T 上均匀分布的相互独立的随机变量 U1 U2 Un的顺序统计量的 联合分布 故而有 11 nn ii ii ESEU 记 1 N T i i XTS 则 X 表示发车前所有顾客的总候车时间 其条件期望为 111 N Tnn iii iii E X N TnETSN TnETSnTES 1 1
5、 22 n i i T nTEUnTnnT 进而 2 111 222 E XE E X N TEN T TT E N TT 11 假设题 10 中在时刻 T 前的某个时刻 s 增加一般汽车 证明如果 s T 2 那 么在时刻 T 前到达车站的所有乘客的平均总等待时间最小 解 由题 10 在时刻 s 前到达车站的乘客的平均总等待时间为 2 1 2 s 在 s T 之间到达的乘客的平均总等待时间为 2 1 2 Ts 故而在时刻 T 前到达车站的所有 乘客的平均总等待时间为 22 1 22 2 D sTsTs 易证 当 s T 2 时 D s取得最小值 2 1 4 T 13 设 0 N t t 是强
6、度函数为 t 的非时齐泊松过程 令 1 N tNt 证 明 0 N t t 是速率为 1 的泊松过程 15 求非时齐复合泊松过程在时刻 t 的期望 在时刻 s t 的协方差 特征泛函 解 设 n Y是独立同分布序列 0 N t t 是一个与 n Y独立的强度函数为 t 的非时齐泊松过程 则 1 N t k k Z tY 是强度函数为 t 的非时齐泊松过程 首先计算条件期望 1 1 n k k E Z tN tnEYnE Y 进而复合泊松过程 在时刻 t 的期望函数 11 0 t Z tE Z tE E Z tN tE N t E YE Ys ds 同理复合泊松过程在时刻 s t 的自相关函数
7、Z R s tE Z s Z tE E Z s Z tN tst 2 11 1 N sN sN t kkk kkk N s EYEYEY 2222 111 E N s E YE NsN sEYE N s E N tN sEY 22 11 E N s E YE N s E N tE N sEY 进而在时刻 s t 的协方差函数 11 0 s ZZZZ s tRs tstE N s Var YVar Yu dust 由于 1 n k k iuY iuZ tn Y E eN tnE eu 所以特征泛函 1 11 1 0 Y k m tu iuZ tN tkm t Z tYY k m t uE E e
8、N tEuuee k 其中 1 Y u 是 Y1的特征函数 而 m t 是 0 N t t 的均值函数 17 令 0 X t t 是一个复合泊松过程 即 1 N t k k X tY 假设 Yk只能取有限个可 能的值 论证对于总分大的 t X t渐进于正态 证明 Yk只能取有限个可能的值 所以其期望与方差存在 写出其特征函数 的泰勒展开式 进而由 15 题 写出 X t的特征函数 与正态分布的特征函数对 比 21 Yule 过程 连续时间马尔科夫链 第第 3 章补充作业章补充作业 1 设 0 N t t 是速率为 的泊松过程 请计算其均值函数 自相关函数与 协方差函数 N tE N tt N
9、Rs tE N s N tE N sN tN sN sst 22 NN E N sEN sE N s E N tVar N sst 1 st NNNN s tRs tstsst 2 设 0 1 2 i N t tin 是速率分别为 1 2 i in 的相互独立的泊 松过程 记 T 为全部 n 个过程中第 1 个事件到达的时刻 1 求 T 的分布 2 证明 1 0 n i i N tN t t 是速率为 1 n i i 的泊松分布 3 计算 当 1N t 时 事件属于过程 1 0 N t t 的概率 利用特征函数证明 2 1 T 是泊松过程 1 0 n i i N tN t t 的第 1 个事件
10、到达的时刻 所以它 服从参数为 1 n i i 的指数分布 3 1 11 1 1 1 0 2 3 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 i i n j j n tt P NtNtinP NtN t i P N tP N tn t n j j j j tee P N tN t te 3 设某电话总机在t分钟内接到呼叫的次数 0 X t t 是速率为 的泊松过 程 求 1 3 分钟内接到 5 次呼叫的概率 2 3 分钟内接到 5 次呼叫条件下 第 5 次呼叫在第 3 分钟到达的概率 3 3 分钟内接到 5 次呼叫条件下 5 次呼唤都在前 2 分钟内到达的概率 4 3 分钟内接到 5 次呼叫 且
11、第 5 次呼叫在第 3 分钟到达的概率 1 5 3 3 3 5 5 P Xe 3 5 2 5 5 3 2 2 5 3 2 0 2 5 2 5 3 5 3 3 5 3 5 ee P XXX P XX P X e 2 5 5 2 2 3 5 1 2 5 3 5 1 3 P TXP XX 3 44 5 00 2 3 5 2 3 5 2 3 2 5 kk P TXP Xk XP Xk XXk 5555 4 23 0 2 32 5 5 kk k eee kk 4 设设 0 N t t 是强度函数为 t 的非时齐泊松过程 12 XX是事件之 间的间隔时间 问 1 各间隔时间 i X是否相互独立 2 各间隔
12、时间 i X是否同分布 提示 计算 1 X与 2 X的分布 解 1 记 0 t m ts ds 则 12 0t t 由于 22111211121 0 1 0 P XtXtP N ttN tN tP N ttN t 121 m ttm t e 与 X1的取值 t1有关 所以各间隔时间 i X不是相互独立的 2 1 X的分布为 1 11 m t P Xte 而 1 121112 22221111 0 1111 00 X m ttm tm tm tt P XtP XtXt ft dt em t edtem t dt 所以 2 X与 1 X不同分布 5 某商店上午 8 时开始营业 从 8 时到 11
13、时顾客平均达到率线性增加 8 时顾客平均到达率为 5 人每小时 11 时为 20 人每小时 从 11 时到下午 1 时顾 客的平均到达率不变 从下午 1 时到 5 时顾客平均到达率线性下降 到下午 5 时降为 12 人每小时 设在不同时间间隔内到达的顾客数相互独立 求强度函数 t 并求上午 8 时至 9 时无顾客的概率 以及该时段的平均顾客数 解 将上午 8 时记为 0 时刻 则强度函数为 5503 2035 23059 xx xx xx 上午 8 时至 9 时的平均顾客数为 11 00 1 55 7 5mt dttdt 上午 8 时至 9 时无顾客的概率为 1 7 5m ee 6 设 0 1
14、 2 i N t ti 是速率分别为 1 2 i i 的相互独立的两个泊松过 程 令 12 X tN tN t 请回答下列问题 并证明你的结论 1 0 X t t 是泊松过程吗 2 0 X t t 是复合泊松过程吗 解 0 X t t 不是泊松过程 因为 12 12122 1 1 0 1 0 t P X tP N tN tP N tN tt e 0 X t t 是复合泊松过程 设随机变量 Yn 独立同分布于 12 1212 1 1 1 2 nn P YP Yn 且有 1 2 n Y n 与 0 1 2 i N t ti 相互独立 则 12 1 NtNt n n X tY 是复合 泊松过程且有 12 X tN tN t
