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1、3.4生活中的优化问题举例【学习目标】1进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【重点难点】重点：掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，难点：构建函数模型，求函数的最值.【学法指导】观察、探究、数形结合。【知识链接】复习1：函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_ 复习2：函数在上的最大值为_；最小值为_.【学习过程】 知识点1：优化问题仔细阅读课本第101页内容，尝试解答下列问题：问题1：生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题. 知识点2
2、：知识点的应用题型一：面积、容积最大（小）问题仔细阅读课本第101页例1，尝试解答下列问题：例1. 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 反思：利用导数解决优化问题的实质是 .题型二：费用、用料最省问题例2.如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ，为使所用材料最省，底宽应为多少？题型三：利润最大问题仔细阅读课本第102页例2，尝试解答下列问题：例3. .某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每
3、出售1 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例4已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润最大？分析：利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格由此可得出利润与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润【基础达标】1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？3. 一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长
4、都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.(1)试把方盒的容积表示为的函数.(2)多大时，方盒的容积最大？4一条长为100的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？5. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用.房间定价多少时，宾馆利润最大？【归纳小结】1解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.2实际问题中在变
5、量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.3. 解决优化问题与应用传统知识解应用题的唯一区别是：解题过程中需运用导数求出函数的最值. 4. 在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考虑问题的实际意义. 解决优化问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程.【知识拓展】牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.【当堂检测】1. 以长为10的线段AB为直径为圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ）A10 B15 C25 D502. 设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）A B C D3. 某商品在最近30天的价格与时间（天）的函数关系是，销售量与时间的函数关系是，则这种商品的销售多额的最大值为（ ）A406 B506 C200 D5004. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72，其底面两邻边长之比为，则它的长为 ，宽为 ，高为 时，可使表面积最小.5. 做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为 课后反思
