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1、2 8 电容与部分电容2 8 电容与部分电容 2 8 1 电容2 8 1 电容 Q C 定义定义 单位单位 F法拉法拉 faradfarad U C 定义定义 单位单位 F法拉法拉 faradfarad 电容只与两导体的电容只与两导体的几何形状几何形状 尺寸尺寸 相互位置相互位置及导体周围的及导体周围的介质介质有关 有关 F是很大的单位 F是很大的单位 一般用一般用 一般用一般用 F Fp 迈克尔 法拉第 Michael 迈克尔 法拉第 Michael FaradayFaraday 公元公元17911791 公元公元 休 杰克曼 Hugh 休 杰克曼 Hugh Michael JackmanM
2、ichael Jackman FaradayFaraday 公元公元17911791 公元公元 1867 英国物理学家1867 英国物理学家 MichaelMichael JackmanJackman 1968 澳大利亚演 员 1968 澳大利亚演 员 常用电容常用电容 电子电容器电子电容器 无极性电容无极性电容 极性电容极性电容 电力电容器电力电容器 电容的计算方法电容的计算方法 Q C U C 电容的计算思路 电容的计算思路 a 设设 U Q CQUUQQ E 高斯定律高斯定律 lE d b b 设设CUQQU E 解边值解边值 问题问题 E 分界面分界面 条件条件 S ds 问题问题条件
3、条件 例2 8 1例2 8 1试求球形电容器的电容 试求球形电容器的电容 解 设内导体的电荷为 则解 设内导体的电荷为 则q qd S SD r rr r q r q eEeD 2 0 2 4 4 图2 8 1 球形电容器图2 8 1 球形电容器 同心导体间的电压同心导体间的电压 ab abq ba q dU b a 00 4 11 4 rE b4 球形电容器的电容球形电容器的电容 ab ab U q C 0 4 当当 aC 0 4 当当 b时时 孤立导体球的电容 孤立导体球的电容 2 8 2 多导体系统 部分电容2 8 2 多导体系统 部分电容 1 1 多导体系统多导体系统 线性 线性 多导
4、体多导体 两个以上导体 组成的系统 两个以上导体 组成的系统 1 1 多导体系统多导体系统 静电独立系统静电独立系统 D线从这个系统中的带电体发出 并终止于该线从这个系统中的带电体发出 并终止于该 系统中的其余带电体系统中的其余带电体 与外界无任何联系与外界无任何联系 即即系统中系统中 总净电荷为总净电荷为0 0 n k q 0 系统中的其余带电体系统中的其余带电体 与外界无任何联系与外界无任何联系 即即系统中系统中 总净电荷为总净电荷为0 0 2 部分电容概念2 部分电容概念 k k q 0 图2 8 2 三导体静电独立系统图2 8 2 三导体静电独立系统 已知导体的电荷 求电位和电位系数
5、已知导体的电荷 求电位和电位系数 C Q U U Q C q q1 1导体1上的电荷导体1上的电荷 q q2 2导体2上的电荷导体2上的电荷 以接地导体为电位参考点以接地导体为电位参考点 导体的电位与各导体上的电荷的关系导体的电位与各导体上的电荷的关系 2 2 q q0 0接地导体上的电荷接地导体上的电荷 22110022211001 qbqbqbqaqaqa 以接地导体为电位参考点以接地导体为电位参考点 导体的电位与各导体上的电荷的关系导体的电位与各导体上的电荷的关系 22110022211001 qqqqqq 0 210 N k qqqq Q 0 210 0k k qqqq Q 21211
6、11 qq 0111 aa 2221212 qq 以此类推以此类推 n 1 个多导体系统只有个多导体系统只有 n 个电位线性独立方程个电位线性独立方程 即 即 qqqq LLLL NNii qqqq LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 112121111 NiNiiiiii qqqq LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLL 2211 NNNiiNNNN qqqq LLLL 2211 210Ni qqqqq LLL 非独立方程非独立方程 q 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 210Ni qqqqq 非独立方程非独立方程 电位系数 电位系数 表明导体电荷对导体电位的贡献 表明导体电荷
7、对导体电位的贡献 ii 自有电位系数 自有电位系数 表明导体表明导体i 上电荷对导体上电荷对导体 i 电位的贡献 电位的贡献 j i 互有电位系数 互有电位系数 表明导体表明导体j上的电荷对导体上的电荷对导体i电位的贡献 电位的贡献 的性质的性质 i jji 3 0 1 2 iiij ii 自有感应系数大于0自有感应系数大于0 02 ij 互有感应系数小于0互有感应系数小于0 jiij 3 感应系数矩阵是对称阵感应系数矩阵是对称阵 iiji 4 自有感应系数大于互有感应系数的绝对值自有感应系数大于互有感应系数的绝对值 的值可以通过给定各导体的电位的值可以通过给定各导体的电位 测量各导体的电 测
8、量各导体的电 NNii q LLL 112121111 荷荷 q 而得 而得 NiNiiiiii q LLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 2211 NNNiNiNNN NiNiiiiii q q LLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 2211 2211 i q NNNiNiNNN q 2211 0 1121 Nii i ii LL 0 j i ij q 0 1121 Njj j LL 已知带电导体间的电压 求电荷和部分电容 已知带电导体间的电压 求电荷和部分电容 NNii q 112121111 LLL 如果将电荷与电位的关系表示成电荷与电压的关系 有如果将电荷与电位
9、的关系表示成电荷与电压的关系 有 NNii q 112121111 0 113113 21121112111 NN N q L L 113113NN 是1号导体与参考导体之间的电压 令是1号导体与参考导体之间的电压 令 0 1 N C 1121110 L 1212 C 1313 C NN C 11 NNU CUCUCUCq 111313121210101 L 则则 NNU CUCUCUCq 111313121210101 则则 111110101NNii UCUCUCq LL 得方程组得方程组 q 0011NiNiiiiii UCUCUCq LL LL LLi q1 1 i q 0011NNi
10、NiNNNN UCUCUCq LL LL UCq 矩阵形式矩阵形式 式中 式中 C 部分电容 它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献 部分电容 它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献 iNiNiiii CCC LL 2211 互有部分电容 互有部分电容 210iNi iiii C LLL 自有部分电容自有部分电容 210iNi iiii C 自有部分电容自有部分电容 部分电容性质 部分电容性质 所有部分电容都是正值所有部分电容都是正值 且仅与导体的形状且仅与导体的形状 尺寸尺寸 相互位置及相互位置及所有部分电容都是正值所有部分电容都是正值 且仅与导体的形状且仅与导体的形状 尺寸尺寸 相互位置及相互
11、位置及 介质的 介质的 值有关 值有关 CC 互有部分电容互有部分电容 jiij CC 即为对称阵 即为对称阵 C n 1 个导体静电独立系统中个导体静电独立系统中 共应有共应有个部分电容个部分电容 1 nn 个导体静电独立系统中个导体静电独立系统中 共应有共应有个部分电容个部分电容 2 部分电容是否为零 取决于两导体之间有否电力线相连 部分电容是否为零 取决于两导体之间有否电力线相连 综上所述 多导体系统电荷与电位间关系 可以通过三套系数 综上所述 多导体系统电荷与电位间关系 可以通过三套系数 即即来表示来表示 三者相比三者相比 易于计算易于计算 便于测量便于测量 C C C 即即来表示来表
12、示 三者相比三者相比 易于计算易于计算 便于测量便于测量 C C 可通过可通过 计算 也可直接测定 其主要优点是可以将计算 也可直接测定 其主要优点是可以将场场的概念和的概念和 C 路路的概念联系起来 的概念联系起来 即即静电场问题静电电容的网络问题 静电场问题静电电容的网络问题 图2 8 7 部分电容与电容网络图2 8 7 部分电容与电容网络 工程上 常引入工程上 常引入 等效电容等效电容的概念 它是指在多导体静电独立系统中 的概念 它是指在多导体静电独立系统中 把两导体作为电容器的两个极板把两导体作为电容器的两个极板 设在这两个电极间加上已知电压设在这两个电极间加上已知电压U U 极板极板
13、把两导体作为电容器的两个极板把两导体作为电容器的两个极板 设在这两个电极间加上已知电压设在这两个电极间加上已知电压U U 极板极板 上所带电荷为 则把比值叫做这两导体的等效电容或工作电容 上所带电荷为 则把比值叫做这两导体的等效电容或工作电容 q Uq 例例2 8 2 试计算考虑大地影响时 二线传输线的各部分电容及二线输电线试计算考虑大地影响时 二线传输线的各部分电容及二线输电线 的等效电容的等效电容 已知已知如图示如图示 haad 的等效电容的等效电容 已知已知如图示如图示 haad 3 12 2 1 nn 解解 部分电容个数部分电容个数 如图所示如图所示 图2 8 3 两线输电线及其电容网
14、络图2 8 3 两线输电线及其电容网络 21122010 CCCC 3 2 2 解解 部分电容个数部分电容个数 如图所示如图所示 由对称性得由对称性得 21121101 CC CC 21122010 线电荷与电位的关系为线电荷与电位的关系为 22012212 CC 线电荷与电位的关系为线电荷与电位的关系为 令令 0 1 21 则则 2112110 0 1 CC CC 2 令令 0 1 21 利用镜像法利用镜像法 输电线两导体的电位 输电线两导体的电位 为 2 2 ad r r ln 2201212 0 CC 1 1 d 1 r 0 2 2 10 r h2 ln 1 1 2 r dh a 22
15、0 1 4 ln 1 ln 2 3 1 1 d 0 2 ln 2 将将 3 3 式代入式代入 2 2 式得式得 图2 8 4 两线输电线对大地的镜像图2 8 4 两线输电线对大地的镜像 hd C h C 2 ln 12 ln 1 1 将将 3 3 式代入式代入 2 2 式得式得 dh C dha C dha C a C 2222 22 0 12 0 10 4 l 14 l 1 0 4 ln 2 ln 2 1 d dh C hd dha C 0 20 0 21 4 ln 2 1 2 4 ln 2 1 0 联立解之得联立解之得 22 4 ln 2 dh 图2 8 5 两线输电线及其电容网络图2 8 5 两线输电线及其电容网络 ad dhh CC 22 0 2010 42 ln 2 2 22 2 0 2112 4 ln 2 ln ln 2 d dh a h d CC ad 二线间的等效电容 二线间的等效电容 2 2 0 2010 2010 12 dh CC CC CCeq l da 4 22 2010 dh d CC ln 作业 作业 2 202 20 2 282 282 202 20 2 282 28
