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1、物理与工程 定滑轮中的力学原理 冀 敏 蒋 平 复旦大学物理系 上海 摘 要 定滑轮是最简单的机械 但其运行原理却涉及诸多方面 它内涵丰富 几乎可涵盖非 物理专业力学部分的全部教学范围 本文全面分析定滑轮运行涉及的力学原理 包括 选取的体系不同动力学方程有不同的表现形式 或同一种表现形式适用不同体系时有 不同的解释 着重讨论摩擦力矩是定滑轮的转动动力 为此选择与轮缘接触的任一无 穷小绳元 其两端张力合力的法向分量产生绳元和轮缘间的摩擦力 所有绳元对轮缘 的摩擦力矩的总和使轮子的角动量变化 而轮缘对绳元的摩擦力则与张力合力的切向 分量平衡 静摩擦力起中介作用将定滑轮两边悬挂的重物和地球体系势能变
2、化的一部 分转化为轮子的转动动能 文章最后指出随着选取的体系不同重力既可理解为外力也 可理解为内力 从而功能原理的具体表现也有所区别 关键词 定滑轮 静摩擦力 功能原理 收稿日期 作者简介 冀敏 女 副教授 主要从事物理教学与研究 科研方向为医学物理 引文格式 冀敏 蒋平 定滑轮中的力学原理 物理与工程 几乎所有的基础物理教科书都会提到定滑 轮 在初中物理教材里是作为改变力的方向的简 单机械 而在高校基 础物理 课里往 往 作 为刚 体 动力学的典型应用实例 然而就大多数教材 而言 鲜有对定滑轮运行过程中涉及的物理学 原理作详细 充分讨论的 定滑轮又称阿特武德 机 事实 上 阿 特 武 德 机
3、 的 运 行 涉 及 质 点 动 力 学 刚体绕定轴转动 静摩擦力 功能原理 机械 能守恒等诸多方面 几乎可以涵盖非物理专业 力学部分 的 全 部 教学范围 可谓简单机械蕴含 着丰富的力学原理 本文即拟对此作较为详细的 讨论 物理与工程 同一动力学过程的不同解释 典型的阿特武德机的构成 一个轮轴固定 质 量为 的滑轮 轮缘上跨接一根绳子 其两端分 别连接质量各为 和 的两个物体 如图 所 示 如 则在轴承润滑良好的情形下滑轮 将逆时针加速旋转 而 和 也将各自分别向 下 向上加速运动 在略去轮轴摩擦力的前提下 通常列出如下 个动力学方程 即 图 阿特武德机构成示意 以上 式中 为两物体加速度的
4、大小 为滑轮左 右两边绳子中的张力 为轮半径 和 分别为轮子的转动惯量和角加速度 显然以上 式即为两物体以及轮子的动力学方程 而且采用 的是隔离法 即独立处理两物体 和轮子 的运动 式 与式 属质点动力学牛顿第二定 律 而式 则为刚体绕定轴转动的动力学方程 关于式 大多数教材的解释或隐含的解释是方 程的左边是绳子的张力加在轮子上力矩的代数 和 而右边则为轮子绕轮轴转动对轮轴角动量的 变化率 其实 这一解释从原理上看并不妥当 因 为张力 和 并不作用在轮子上而是作用在绳 子上 因而 和 原则上都不是作用在轮子 上的力矩 不能使轮子的角动量发生变化 然而 式 无疑又是正确的 只是必须予以恰当地解
5、释 如果将轮子和跨接其上的绳子 不包括两边的 两个物体 和 一起看作同一体系 则式 左端即为施加在该体系上的外力矩 应与体系角 动量的变化率相等 由于通常作轻绳假设 绳子对 转轴的角动量可略去 体系角动量的变化率就是 轮子角动量的变化率 也就是如式 右边所示 对式 还可有另一种解释 这涉及使滑轮运 转的真正动力 使轮子加速转动的并非绳中的张 力 而是绳子与轮缘间的摩擦力 摩擦力矩才是真 正使滑轮加速转动的动力矩 为此 考察一长为 的绳元 该绳元两端的张力分别为 和 如图 所示 由于绳元并非一直线元 两端张力不 在同一直线上 其合力在法向产生对轮缘的正压力 其中 为绳元对 轮轴的张角 张力合力的
6、切向分量为 如图 所示 在略去绳子质 量的前提下 向左的 须由另一反向同值的外力 平衡 这就是轮缘对绳子的摩擦力 起源于张力合 力的法向分量 这一摩擦力数值与 相等 但 反向 即向右 这一摩擦力的反作用力即绳元对轮 缘的摩擦力 数值也应为 但方向向左 其对轮 轴的力矩 即构成该绳元作用于滑轮的力矩 元 将此力矩元对绳 轮接触的全部半圆积分即得 于是回到式 进一步 如只须求出物体的加速度 则可将两物体 绳子和 轮子一起作为一个体系 写出整个体系针对角动 量的动力学方程 此时作用在体系上的外力矩只 是作用在 与 上的重力对轮轴的重力矩 和 对 转 轴 的 角 动 量 方 向 相 同 数 值 分 别
7、 为 和 为两物体的速度 方向相 反 数值相同 此二角动量的变化率为 和 于是根据角动量定理 全体系的动力学方 程可直接写为 图 滑轮运转受力分析用图 图 绳缘受力分解用图 物理与工程 加上定滑轮正常运转时绳子和轮缘间并无相对滑 动的约束条件 以及轮子的转动惯量 即可直接得出物体的加速度 为 轮 绳间的摩擦力不能忽略 由上面的分析可以看出 作为定滑轮的运行 动力 轮缘和绳子间的摩擦力不能略去 有一些中 学教学辅导书籍中常以略去这一摩擦力作为滑轮 两边绳子中张力相等的理由 并不恰当 因为如将 轮缘与绳子间的摩擦力略去 定滑轮便和一光滑 的杆子无异 轮子不会转动 这说明滑轮绝不是滑 在轮缘上 滑轮
8、之所以叫滑轮是滑在轮轴的轴承 处 当轴承的摩擦力矩可略去时 式 成立 否则 式 左方还应加上轴承与轮轴间的摩擦力形成 的阻力矩 这就是为什么轮轴常须润滑或采用滚 珠轴承的原因 如果加上轮子质量很小因而也可 略去这一近似 则在此两个前提下滑轮两边的张 力相等 而且 值得注意的是 由于绳子与轮缘间 并无相对滑动 摩擦力属静摩擦力 即绳元和轮子 间的摩擦力数值应由绳元的力学平衡条件决定 而不应视为最大静摩擦力 即 和摩擦系数的 乘积 这和绞盘的情形不同 对绞盘通常针对绳子 将要滑动的临界情形 因此摩擦力取为与正压力 及摩擦系数的乘积相等 功能转换 阿特武德机运行时涉及许多作用力 每个力 都要做功 而
9、做功就会涉及能量的转化和传递 因 而功能之间的关系也相当丰富 设从静止开始 对 物体 而言 除向下的重力 外尚有绳子向 上的张力 作用其上 设 向下位移 则重 力做正功 而向上的张力做负功 二者之和转化为 的动能增量 为 的速率 对物体 而言 作用其上向上的 张力 做正功 而重力做负功 二 者之和 转 化为 的 动 能增量 与此同时 绳子对轮缘的摩擦力对轮子做正功 转化 为 轮 子 的 动 能 增 量 以上三者均符合动能定理 另一方面 可以注意到 对定滑轮体系而言 只有重力是外 力 绳中的张力和绳 轮间的摩擦力都是成对出现 的内力 每一对内力都互为作用力和反作用力 但 是 对每一对内力中的两个
10、力而言 位移是相同 的 做功彼此抵消 这样 所有的内力做功总和为 零 于是概括起来就是外力对一无内力做功的体 系做的功转化为体系机械能的增量 正是功能原 理对这一体系的应用 当然 这里我们略去体系内 物体 和轮子之间的相互作用势能 因而机 械能就是动能 同时 略去除地球外其他星球和物 体对体系的作用 在同样的假定下 如果将地球也 包括进所研究的体系 则重力成为保守内力 于 是 保守内力做功以体系势能降低为代价 并转化 为两物体和轮子的动能 地球动能可略去 维持 体系的机械能不变 这又是功能原理的表现 对无 外力作用的体系如只有保守内力做功 体系的机 械能守恒 综上可见 定滑轮这一简单机械的运行包含 多方面的物理内涵 相信高校基础物理教学如果 在力学部分讲授完成之后 以此为典型例子组织 学生讨论 一定会取得良好的教学效果 参 考 文 献 梁励芬 蒋平 大学物理简明教程 版 上海 复旦大 学出版社 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程 力学卷 北京 高等教 育出版社 吴百诗 大学物理 上 西安 西安交通大学出版社
