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1、专项二解答题专项 十一 几何综合探究题 针对陕西中考第25题 中考解读 中考解读 几何综合探究题为陕西中考解答题的必考题 题位为第25题 分值为12分 题目综合性强 多涉及类比的思想 设问方式多样 要求学生逐步突破 涉及的图形有等腰三角形 直角三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 圆 涉及的图形变换为平移变换 对称变换 旋转变换 涉及的知识点有全等和相似的性质和判定 勾股定理 一元二次方程 二次函数的最值 圆的有关性质等 主要考查的类型有 1 探究线段长度的最值问题 2 探究图形面积的最值问题 3 探究图形面积的分割问题 4 探究符合条件的点的问题 解答题专项 类型1探究线段长度的极值和定值
2、问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想方法 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 常用解题方法 代数法和几何法 解答题专项 一 单动点问题常见模型一 利用三角形的三边关系解决最值问题 问题情境 1 如图 直线l表示河岸 河两岸有A B两村 现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题 那么水塔修在何处 它到A B两村的距离和最短 2 如图 直线l表示河岸 河岸同侧有A B两村 现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题 那么水塔修在何处 它到A B两村的距离差最长 通解通法 知识必备 1 三角形的两边之和大于第三边 2 三角形的两边
3、之差小于第三边 解答题专项 问题解决 三角形的两边之和大于第三边 1 找点 如图 连接AB交直线l于点P 点P即为所求 2 说理 如图 在直线上另取一点P 在 AP B中 AP P B AB 当A P B三点共线时 AP PB AB 此时AP PB最短 反思 此模型实际上是线段公理的证明和有效说理 三角形的两边之差小于第三边 1 找点 如图 延长AB交直线l于点P 则 PA PB 最大 2 说理 如图 在直线l上找一点P 连接P B P A 在 AP B中 P A P B AB 当A B P三点共线时 PA PB AB 故此时 PA PB 最大 解答题专项 常见模型二 垂线段最短 问题情境 1
4、 如图 P为线段BC上一动点 当点P运动到何处时 AP最短 通解通法 知识必备 垂线段最短 问题解决 垂线段最短 1 找点 如图 过点A作AP BC交BC于点P 点P即为所求 2 说理 垂线段最短 解答题专项 二 双动点问题常见模型三 轴对称的性质 垂线段最短 问题情境 1 如图 在直线l1和l2上分别找两点B C 使 ABC的周长最小 2 如图 在 ABC中 AB 2 BAC 45 AD平分 BAC M N分别为AD AB上的两个动点 怎样确定点M N能使BM MN的值最小 通解通法 知识必备 1 轴对称的性质 2 垂线段最短 解答题专项 问题解决 轴对称的性质 1 找点 如图 分别找出点A
5、关于直线l1和l2的对称点A1和A2 连接A1A2分别交直线l1和l2于点B C 此时 ABC的周长最小 2 说理 由对称性可知 AB A1B AC A2C 故 ABC的周长为AB AC BC A1B A2C BC A1A2 根据 两点之间 线段最短 可知 此时 ABC的周长最小 垂线段最短 1 找点 如图 找出点B关于AD的对称点B 过点B 作B N AB分别交AD于点M 交AB于点N M N即为所求 2 说理 AD平分 BAC 点B关于AD的对称点B 在线段AC上 B M BM 又 B N AB于点N BM MN B M MN B N 由垂线段最短可知 此时BM MN的值最小 解答题专项
6、常见模型四 平移 将军饮马 问题情境 1 如图11 在直线l上找出两个动点P Q P Q两动点之间的距离为定值 使AP PQ BQ的值最小 通解通法 知识必备 1 平移的性质 2 轴对称的性质 问题解决 1 找点 如图12 将点A沿过点A且与直线l平行的直线平移PQ长度得到定点A 作定点A 关于直线l的对称点A 连接A B 交直线l于点Q 将点Q沿直线l向左平移PQ长度 得到点P 连接AP 则AP PQ BQ的值最小 2 说理 请自己完成证明过程 解答题专项 常见模型五 动点定值模型 平行定位 法 问题情境 1 如图13 在 ABC中 BC a M是BC上一动点 连接AM 取AM的中点P 随着
7、点M从点B运动到点C 求动点P的路径长 通解通法 知识必备 1 三角形中位线 2 平行线间的距离处处相等 问题解决 1 如图14 过点P作直线EF BC分别交AB AC于点E F 点P运动的轨迹在线段EF上 解答题专项 2 说理 由动点M找动点P的运动轨迹 过点P 点A分别作BC的垂线交BC于点G H 如图 则PG AH P为AM的中点 PG AH 又 AH为BC边上的高线 点P到BC的距离为定值 在 ABC中 EF BC a 故动点P的路径长为a 夹角定位 法 又称 旋转 直线型 理论依据 平面内 过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动 如图15 已知直线l与定点A 若直线BA与直线
8、l的夹角 确定 则动点B始终在直线AB上 如图16 在 ABC中 AB AC BAC 90 点P为BC上一动点 AP AD PAD 90 线段BC长为定值 在点P从点B向点C运动的过程中 动点D运动的路线是什么 长度等于多少 解答题专项 问题解决 易证 ABP ACD 故动点D的运动轨迹是一条线段 该线段所在直线垂直于BC 且点D运动的路线的长度为BC长 此类问题分三步进行思考 1 找准主动点 从动点以及绕哪一定点运动 2 由旋转不变性可知 主动点的轨迹和从动点的轨迹相同 位置不同 分析从动点 主动点与定点之间的数量关系 比值 从而由一个动点确定另一个动点的运动轨迹的长度 3 整体捆绑 画出图
9、形 解决问题 解答题专项 例1 2018 陕西中考 问题提出 1 如图 在 ABC中 A 120 AB AC 5 则 ABC的外接圆的半径R的值为 问题探究 2 如图 O的半径为13 弦AB 24 M是AB的中点 P是 O上一动点 求PM的最大值 问题解决 3 如图 AB AC 是某新区的三条规划路 其中AB 6km AC 3km BAC 60 所对的圆心角为60 新区管委会想在路边建物资总站点P 在AB AC路边分别建物资分站点E F 也就是 分别在 线段AB和AC上选取点P E F 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P E F P的路径进行运输 因此要在各物资站点之间规划道路P
10、E EF和FP 为了快捷 环保和节约成本 要使线段PE EF FP之和最短 试求PE EF FP的最小值 各物资站点与所在道路之间的距离 路宽均忽略不计 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型2探究图形面积的最值问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想方法 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 常用解题方法 代数法和几何法 常见模型一 问题情境 1 如图 在 ABC中 BC a A 那么 ABC的面积和周长是否有最值 通解通法 知识必备 1 三角形的面积公式 2 同弧所对的圆周角相等 问题解决 如图 BC确定 BC边所对的角确定 故点
11、A在 ABC的外接圆的上 因为BC为定值 所以当BC边上的高最大时 ABC的面积最大 而当点A在的中点A 时 ABC为等腰三角形 BC为底边 此时BC边上的高最大 则 ABC的面积最大 解答题专项 如图 延长BA到点C 使AC AC 连接C C 取BC的中点O 以O为圆心 OB长为半径作 O 延长BO交 O于点D 连接DC 则 D C B C C D四点共圆 因为BD为直径 所以当点A在点O时 ABC为等腰三角形 BC为底边 此时 ABC的周长最大 结论 定边对定角 等腰时面积最大 周长最大 常见模型二 问题情境 如图 在 ABC中 BAC 45 高AD 4 则线段BC的最小值为多少 ABC的
12、面积的最小值是多少 通解通法 知识必备 1 三角形的面积公式 2 同弧所对的圆周角相等 3 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 4 垂径定理 解答题专项 问题解决 如图 作 ABC的外接圆 O 连接OA OB OC 过点O作OE BC交BC于点E 设BC 2x 则在Rt BOE中 BE OE x OB OA x OA OE AD 即x x 4 解得x 4 1 即BCmin 8 1 高AD为定值 ABC的面积的最小值为16 1 此时AB AC ABC为等腰三角形 此时 易证 ABC的周长也最小 结论 定角夹定高 等腰时面积最小 周长最小 常见模型三 问题情境 如图 在 ABC中 AB c BC a
13、B 高AD h 求S ABC的定值和最值 通解通法 知识必备 解直角三角形及锐角三角函数 问题解决 如图 在Rt ABD中 h csin 所以S ABC ah acsin 所以S ABC的定值为acsin 最大值为ac 注 sin 1 当sin 1时 90 解答题专项 常见模型四 问题情境 如图 在四边形ABCD中 对角线AC m BD n AOB 求四边形ABCD的面积的最大值 通解通法 知识必备 1 解直角三角形 2 斜大于直 问题解决 如图 分别过点A C作AF BD CG BD 垂足分别为F G 则S四边形ABCD S ABD S BCD 在Rt AOF和Rt COG中 AF OA s
14、in CG OC sin S四边形ABCD BD AF BD CG n AF CG OA OC nsin mnsin 四边形ABCD的面积的最大值为mn 解答题专项 注 sin 1 当sin 1时 90 面积定值或最值问题常见其他考点 面积与图形变换 旋转 平移 对称 位似 相结合 面积与函数相结合等等 知识必备 1 相似三角形的相似比等于对应高的比 解答题专项 例2 2016 陕西中考 问题提出 1 如图 已知 ABC 请画出 ABC关于直线AC对称的三角形 问题探究 2 如图 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 AE 4 AF 2 是否在边BC CD上分别存在点G H 使四边形EFGH的
15、周长最小 若存在 求出它的周长的最小值 若不存在 请说明理由 问题解决 3 如图 有一矩形板材ABCD AB 3m AD 6m 现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件 使 EFG 90 EF FG m EHG 45 经研究 只有当点E F G分别在边AD AB BC上 且AF BF 并满足点H在矩形ABCD内部或边上时 才有可能裁出符合要求的部件 试问 能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件 若能 求出裁得的四边形EFGH部件的面积 若不能 请说明理由 解答题专项 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型3探究图形面积的分割问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养
16、数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 解题方法 代数法和几何法 一 过定点的三角形面积等分线常见模型一1 如图 在 ABC中 过点A作一条直线 将三角形的面积平分 通法通解 1 理论依据 等底同高的三角形的面积相等 2 作法 如图 找出BC边的中点D 过AD作一条直线即可平分 ABC的面积 解答题专项 常见模型二三角形等积变换 又称 蝴蝶型 如图 已知 ABC 求作 DBC 使S ABC S DBC 理论依据 同底等高的三角形的面积相等 作法 如图 过点A作线段BC的平行线l 直线l上 点A除外 的任何一点满足题目要求 易证S BOD S AOC 模型拓展中线 蝴蝶型1如图 在 ABC中 D为BC上一点 过点D作一条直线 把 ABC的面积平分 解答题专项 通法通解 1 理论依据 等底同高的三角形的面积相等 同底等高的三角形的面积相等 2 作法 找出边BC上的中线AE 连接AD 过点E作EF AD 连接DF DF即为所求 3 说理 运用转化思想 找出BC的中点E 则S ABE S ACE 由EF AD 得S DEF S AEF 故
