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1、二次根式 课题 学习目标 知识回顾 典型例题和及时反馈 学习目标 1 能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简 2 能够比较熟练地进行二次根式的运算 3 会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题 学习目标 二次根式 概念 性质 运算 知识回顾 知识回顾 一 二次根式的意义 二 二次根式的性质 四 反思提升 三 二次根式的运算 一 二次根式的意义 你能说说对二次根式的认识吗 2 a可以是数 也可以是式 3 形式上含有二次根号 1 表示a的算术平方根 注 正确理解和运用二次根式的概念是学好本章的关键之一 一 二次根式的意义 例1 下列各式中哪些是二次根式 哪些不是 为什么 思路启迪 二次根式应
2、同时具备下列三个条件 1 含有根号 2 根指数是2 3 被开方数是非负数 典型例题 典型例题 例2 x取何值时 下列二次根式有意义 解 思路启迪 判断二次根式是否有意义的基本依据是 被开方数为非负数 分母不等于零 典型例题 例3 二次根式的非负性的应用 1 已知 0 求x y的值 2 已知x y为实数 且 3 y 2 2 0 则x y的值为 A 3B 3C 1D 1 解 由题意 得x 4 0且2x y 0 解得x 4 y 8 x y 4 8 4 8 12 D 典型例题 解 x 1 0且y 2 0 x 1y 2 点评 初中阶段 课本中出现的三种非负数已全部学完 这三种非负数是 实数的绝对值 实数
3、的偶次方 非负数的算术平方根 利用非负数的意义求值 是解决代数式求值问题时常用的方法之一 x为何值时 下列各式在实数范围内有意义 及时反馈 及时反馈 二 二次根式的性质 二 二次根式的性质 1 与区别 意义不同表示a的算术平方根的平方 表示a的平方的算术平方根 a的取值范围不同 a o a为任意实数 2 联系 当a 0时 a 3 积的算术平方根的性质 4 商的算术平方根的性质 二 二次根式的性质 注 正确理解和运用二次根式的性质是学好本章的关键之一 计算 典型例题 例1 解 思路启迪 利用可以把二次根式化简 典型例题 例2 把下列各式写成平方差的形式 再在实数范围内分解因式 典型例题 思路启迪
4、 利用可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式 例2 把下列各式写成平方差的形式 再在实数范围内分解因式 典型例题 化简 思考 解 典型例题 例3 思路启迪 利用可以把二次根式化简 若x 0呢 典型例题 例4 化简 3 把a 3当做整体 化简形如的二次根式 首先把写成 a 的形式 再根据已知条件中字母a的取值范围 确定其结果 方法小结 化简形如的二次根式的方法 一定要注意a的取值范围 例5 判断下列各式中哪些是最简二次根式 哪些不是 为什么 字母为正数 典型例题 思路启迪 根据最简二次根式的条件来判断 不满足其中任意一个条件的 都不是最简二次根式 最简二次根式的三个条件 1 被开方数中不
5、含能开得尽方的因数或因式 2 被开方数不含分母 3 分母中不含有根号 典型例题 例6 化简 字母为正数 典型例题 例6 化简 字母为正数 思路启迪 若被开方数是积的形式 把能开得尽的方的因数或因式开出来 若被开方数不是积的形式 应先化成积的形式 再把可以开得尽方的因数或因式开出来 解 典型例题 思路启迪 化去根号中的分母 可以将被开方数的分子和分母同乘以一个适当的数 或代数式 从而使被开方数中的分母能够开的尽 这样也就将二次根式进行化简了 典型例题 思路启迪 化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数 或代数式 用这个数 或代数式 去乘分式的分子和分母 可以使分母不含根号 这个数 或代数式 叫有
6、理化因式 分母的有理化因式不是唯一的 应学会选择最简单的 典型例题 思路启迪 根据本题的特点 将分子分解因式 然后约分 这样化简运算简便 解 原式 解法二 方法小结 化二次根式为最简二次根式的一般步骤 1 把根号内能开得尽方的因数 或因式 移到根号外 2 化去根号内的分母 3 化去分母中的根号 又称分母有理化 1 计算 及时反馈 及时反馈 1 计算 及时反馈 答案 2 把下列二次根化为最简二次根式 及时反馈 3 化简下列各式 及时反馈 4 若a b 则化简的结果为 A a bB a bC a bD a b D 3 实数在数轴上的位置如图所示 化简 1 及时反馈 5 实数在数轴上的位置如图所示
7、化简 6 已知三角形的三边长分别是a b c 且 那么等于 A 2a bB 2c bC b 2aD b 2c D 及时反馈 三 二次根式的运算 乘除 1 二次根式的乘法法则 2 二次根式的除法法则 二次根式的除法可以先转化为乘法 然后再按乘法法则进行运算 三 二次根式的运算 乘除 例1 计算 字母为正数 典型例题 典型例题 例2 计算 典型例题 点评 也可以用 除以一个数 等于乘以这个数的倒数 的法则进行计算 在进行二次根式的加减运算时 首先要正确识别同类二次根式 关键是准确地化成最简二次根式 然后观察被开方数是否相同 对于被开方数相同的最简二次根式可以类似合并同类项的方法 即把根号外的因式相
8、加减 根指数和被开方数都不变 三 二次根式的运算 加减 1 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后 如果被开方数相同 这几个二次根式就叫做同类二次根式 2 二次根式的加减 1 先化简 2 再合并 三 二次根式的运算 加减 三 二次根式的运算 加减 化简 例 计算 字母为正数 典型例题 合并 典型例题 例 计算 字母为正数 典型例题 点评 在进行二次根式的加减运算时 应注意 1 根号外的系数因式需保留假分数的形式 2 化简后 被开方数不相同的二次根式不能合并 反之 能合并 若合并后的系数为多项式 需添括号 1 混合运算的顺序 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似 先算乘方 再算乘除 最后
9、算加减 有括号先算括号里面的 三 二次根式的运算 混合运算 2 对于二次根式混合运算 原来学过的所有运算律 运算法则及乘法公式仍然适用 三 二次根式的运算 混合运算 例 计算 典型例题 典型例题 典型例题 例 计算 典型例题 例 计算 典型例题 例 计算 典型例题 例 计算 点评 当被除式与除式的被开方数恰好能整除时 这样计算很方便 典型例题 例 计算 一样的类型 不一样的解法 应学会选择 点评 有关二次根式的除法 通常是先写成分式的形式 然后通过化去分母中的根号进行运算 典型例题 例 计算 二次根式的混合运算 要注意 1 运算顺序 2 灵活运用运算法则 3 灵活运用运算律和乘法公式简便运算
10、4 结果一定要化到最简 方法小结 在二次根式混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根式的性质 选择恰当的解题途径 往往能事半功倍 计算 及时反馈 及时反馈 计算 及时反馈 及时反馈 B C D A 四 反思提升 D 四 反思提升 四 反思提升 解 思路启迪 要将根号外的因式移入根号内 根据移入根号里面的必须是非负数 可以将a 1写成 1 a 将1 a平方后移入根号内 仍留在根号外面 2 3 计算 思路启迪 由于本题中没有指明字母的取值范围 从题中可以看出字母的取值是任意的 在去掉根号时需要进行讨论 解 四 反思提升 四 反思提升 四 反思提升 若a为底 b为腰 此时底边上的高为 三角形的面积为 2 若满足上式的a b为等腰三角形的两边 求这个等腰三角形的面积 解 若a为腰 b为底 此时底边上的高为 三角形的面积为 四 反思提升 点评 题目没有直接给出a和b的取值范围 但它隐含在条件中 不易发现 所以在化简二次根式时 挖掘隐含在题目中的条件是关键 四 反思提升 解 二次根式 关键 关键 重点 小结思考 小结思考 思想方法 2 类比 类比整式运算学习二次根式的运算 3 转化 灵活运用二次根式的性质进行化简与运算 1 分类 二次根式 最简二次根式 同类二次根式的识别 小结思考
