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1、二次函数 1 二次函数的概念 2 二次函数的图象和性质 3 求二次函数的解析式 一 二次函数 重点难点 重点是二次函数的概念 难点是根据实际问题写出二次函数的表达式 形如y a 2 b c a b c是常数 a 0 的函数叫做 的二次函数 1 二次函数的概念 如等 都是二次函数 知识要点 任何一个二次函数的解析式 都可以化成y a 2 b c a 0 的形式 因此我们又把y a 2 b c a 0 叫做二次函数的一般形式 二次函数y a 2 b c中 a b c是常数 a必须不为零 否则没有二次项就不再是二次函数 而b c可以是任何常数 特别地 当b 0时 二次函数形如y a 2 c 当c 0
2、时 二次函数形如y a 2 b 当b 0 c 0时 二次函数形如y a 2 这些都是二次函数的特殊形式 2 写出简单的实际问题中的二次函数关系式 许多的实际问题中都蕴含二次函数关系 要审清题意 正确列出两变量之间的关系式 并加以整理 写成二次函数的一般式 或其它简化形式 要注意联系实际确定自变量的取值范围 典型例题 例1 当m取何值时 函数y m 1 2 1是二次函数 分析 根据二次函数的定义 只需满足m 1 0且m2 m 2即可 说明 解答本题要抓住二次函数的重要特征 即自变量的最高次数为2和二次项的系数不为0 要防止发生的错误是仅仅考虑最高次数为2 而忽视了二次项的系数不为0 这样就得到m
3、 1或m 2的错误解答 例2 已知一个二次函数 当自变量 的值为1时 函数y的值为8 试写出一个符合条件的函数关系式 分析 本题是一道开放性试题 限制条件较少 所以直接凭感觉得出特殊的函数 如y 8 2 y 2 7等 也可以一般性地求出系数a b c之间的关系 再赋值列式 说明 开放性问题有广阔的思考空间 解决这样的问题时最好还是先找出内在的规律 对于求得的结果 应当检验一下是否符合题意 当 1时 y 8 a b c 8 取a 1 b 2 则c 5 y 2 2 5 解 设y a 2 b c a 0 例3 如图 一块草坪是长100米 宽为80米的矩形 现要在中间修两条互相垂直的宽为 米的小路 这
4、时草坪面积为y平方米 求y与 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 分析 看草坪面积是由四块组成 由于四块小矩形的长宽无法表示 故从四块小矩形面积相加的角度很难表示草坪的面积 由于两条小路的长与宽都是固定的 其面积与位置无关 故可设想将两条小路都平移至大矩形的边缘 那么草坪部分就成为一个整体 其长为 100 米 宽为 80 米 面积y可用 表示 解y 100 80 8000 180 2即y 2 180 8000自变量 的取值范围是0 80 说明 几何图形中面积与线段长的函数间的关系 一般都是运用面积公式求得 但有些复杂的 不规则的几何图形直接用公式求面积很困难 往往需要进行巧妙的割补拼合 转化
5、为规则的几何图形 或用规则的几何图形的面积的和差来表示 分析 这是一道动态几何与函数的几何题 题 1 中 PQB的面积由PB BQ决定 故只需用 的代数式表示出PB BQ的长即可列出方程求解 分析 题 2 中 PQD的形状不特殊 难以直接求面积 可转化成矩形面积减去三个直角三角形的面积 6 二 二次函数的图象和性质 一 二次函数y a 2的图象和性质 重点难点 重点是二次函数y a 2的图象和性质 难点是根据图象概括二次函数y a 2的性质 知识要点 1 二次函数y a 2的的有关概念 二次函数y a 2的图象是一条关于y轴对称的曲线 这条曲线叫抛物线 实际上 二次函数的图象都是抛物线 掷铅球
6、或投篮球时 球在空中所经过的路线就是抛物线 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 2 二次函数y a 2的图象的画法 列表 一般取5 7个点 作为顶点的原点 0 0 是必取的 然后在y轴的两侧各取2至3个点 注意对称取点 描点 一般先描出右侧的几个点 再依据对称性描出左侧的几个点 连线 将这几个点用平滑的曲线连结起来 注意 抛物线的两端是无限伸展的 画的时候要 出头 3 二次函数y a 2的性质 y O 向上 向下 0 0 0 0 y轴 y轴 0时 y随 的增大而增大 0时 y随 的增大而减小 0时 y随 的增大而减小 0时 y随 的增大而增大 0时 y最小 0 0时 y最大 0 典型例题 例
7、1说出下列函数的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 分析 抛物线的开口方向是由a决定的 a 开口向上 a 开口向下 由二次函数y a 2的性质可知 这两个图象的对称轴都是y轴 顶点都是原点 解 a 2 0 图象开口向上 对称轴是y轴 顶点坐标是 图象开口向下 对称轴是y轴 顶点坐标是 2 图象开口向下 则m 0 3 函数有最小值 则图象开口向上 m 3 0 2 图象开口向下 m 3 0 m 3 m 4 当m 4时 图象开口向下 3 函数有最小值 m 3 0 m 3 由 1 知 m 1 当m 1时 原函数有最小值 当m 4或m 1时 原函数为二次函数 2或m 2 分析 因为点 1 b 是抛物线y
8、a 2与直线y 2 3的交点 所以 1 y b既满足y a 2又满足y 2 3 于是可求出a和b的值 例6 边长为1正方形OABC的顶点A在 轴的正半轴上 将正方形OABC绕点O顺时针旋转30 使点A落在抛物线y a 2 a 0 的图象上 1 求抛物线的解析式 2 正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时 点A再次落在抛物线y a 2的图象上 并求这个点的坐标 分析 1 关键是求正方形OABC绕点O顺时针旋转30 后A点的坐标 2 因抛物线y a 2关于y轴对称 可根据对称性直接求解 二次函数y a 2 b c的图象和性质 重点是用配方法确定二次函数图象的特征 进而画出它的图象 难点是二次函数知
9、识的灵活运用 重点难点 知识要点 1 二次函数y a 2 b c的图象 二次函数y a 2 b c的图象与二次函数y a 2图象形状相同 只是位置不同 可由二次函数y a 2移得到 2 二次函数y a 2 b c的图象的画法 一般方法 列表 描点 连线 作为顶点是必取的 然后在对称轴的两侧各取2至3个点 注意对称取点 3 二次函数y a 2 b c的性质 a 0 a 0 示意图 y y O O 开口方向 顶点坐标 对称轴 示意图 a 0 a 0 最值 增减性 在对称轴的左侧 y随 的增大而减小 在对称轴的右侧 y随 的增大而增大 在对称轴的左侧 y随 的增大而增大 在对称轴的右侧 y随 的增大
10、而减小 4 二次函数y a 2 b c图象特征与a b c及 的符号之间的关系 抛物线在坐标系的形状和位置与系数a b c及 的符号之间有着密切的联系 知道图象位置可以确定a b c及 的符号 反过来 由a b c及 的符号可以确定抛物线的大致形状和位置 字母 图象的特征 字母的符号 a b c 开口向上 开口向下 对称轴在y轴上 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与 轴有两个交点 与 轴有唯一交点 与 轴没有交点 a 0 a 0 b 0 a b同号 a b异号 c 0 c 0 c 0 0 0 0 典型例题 例1 求抛物线y 2 2 5 7的顶点
11、坐标和对称轴 分析 求抛物线的顶点坐标有两种方法 一是利用配方法将一般形式化成顶点式 二是利用顶点坐标公式 例2 心理学家发现 学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间 单位 分 之间满足函数关系 y 0 1 2 2 6 43 0 30 y值越大 表示接受能力越强 在什么范围内 学生的接受能力逐步增强 在什么范围内 学生的接受能力逐步降低 第10分钟时 学生的接受能力是多少 第几分钟时 学生的接受能力最强 分析 本题主要考查二次函数的图象的性质 主要是顶点 对称轴以及在对称轴两侧y随 的增大而变化等知识在实际问题中的应用 解 y 0 1 2 2 6 43 0 1 13 2 59 9 0 30
12、 由二次函数的性质可知 当0 13时 学生的接受能力逐步增强 当13 30时 学生的接受能力逐步降低 第10分钟时 学生的接受能力是59 二次函数图象的顶点的纵坐标 就是函数y的最大值或最小值 由于函数的二次项系数a 0 1 0 第13分钟学生的接受能力最强 例3 已知函数y 2 2 3 且2 3 求y的最大值或最小值 分析 本例中自变量 的取值范围不再是全体实数 因此画出的图象是有限的一部分 先画出图象 由图象观察出最大值和最小值 说明 本例中函数自变量的取值范围受限制 因此考虑最值情况必须在自变量的取值范围之内 结合图象可知 最高点的纵坐标即最大值 最低点的纵坐标即最小值 切不可以一般情况
13、下的顶点坐标来确定最大 小 值 说明 比较同一抛物线上几个点的纵坐标的大小 可以用计算求值再比较的方法 更多是运用函数的增减性 以及结合图象 描出点的大致位置 再根据点的高低确定纵坐标的大小 所以研究函数问题 一般都应与图象结合起来 更形象 简捷 分析 一 将各点的横坐标分别代入解析式 求出对应的y1 y2 y3的值 再比较其大小 但本例计算较繁 比较大小困难 不是理想的方法 二 根据二次函数图象的特征来比较 利用增减性及点在抛物线上的大致位置可以确定y1 y2 y3的大小 D 分析 A B是 轴上的点 它们的纵坐标是0 故令y 0 得方程 2 2 3 0 解方程可求得对应的横坐标 C在y轴上
14、 它的横坐标为0 故令 0可求得对应纵坐标 一种考虑是根据已求得的A B两点的坐标来求得 另一种考虑是用 B A 结合根与系数的关系 整体求解 结合图形 将四边形ABPC分割成两个直角三角形和一个梯形 再求出它们的面积之和 解 令y 0 则 2 0 解得 1 1 2 3 A在B的左侧 A 1 0 B 3 0 令 0 则y 3 C 0 3 O B P C A y 例5 已知二次函数y 2 2 3的图象与 轴交于A B两点 A在B的左侧 与y轴交于点C 顶点为P 求A B C三点的坐标 求AB的长 求四边形ACPB的面积 3 求平面直角坐标系中不规则多边形的面积时 一般通过分割成直角三角形和直角梯
15、形来完成 或有一边在坐标轴上的三角形来完成 例6 已知抛物线y 2 2 m 1 2 m 1 求证 不论m取何实数 抛物线与 轴总有两个交点 若抛物线与 轴的一个交点为 0 试求m的值及另一个交点的坐标 若抛物线与 轴的两个交点在 4 0 的两侧 试确定m的取值范围 分析证明 0 要证明抛物线与 轴有两个交点 只需证明 0 将已知点的坐标代入解析式 可求m的值 再令y 0 解方程可求另一个交点的坐标 由于交点在 4 0 的两侧 可设 14 则 1 4 2 4 0 根据根与系数的关系可求得m的范围 1 证明 2 m 1 2 4 2 m 1 4m2 8m 4 8m 8 4m2 12 m2 0 4m2
16、 0 4m2 12 0 0 不论m取何实数 抛物线与 轴总有两个交点 例6 已知抛物线y 2 2 m 1 2 m 1 求证 不论m取何实数 抛物线与 轴总有两个交点 若抛物线与 轴的一个交点为 0 试求m的值及另一个交点的坐标 若抛物线与 轴的两个交点在 4 0 的两侧 试确定m的取值范围 例6 已知抛物线y 2 2 m 1 2 m 1 求证 不论m取何实数 抛物线与 轴总有两个交点 若抛物线与 轴的一个交点为 0 试求m的值及另一个交点的坐标 若抛物线与 轴的两个交点在 4 0 的两侧 试确定m的取值范围 分析 a的符号与开口方向有关 b的符号与对称轴的位置有关 c的符号与抛物线和y轴的交点位置有关 b2 4ac的符号与抛物线和 轴的交点情况有关 说明 看图象即可推断a b c及 的符号 其中a看开口方向 向上则a 0 向下则a0 在下方 则c 0 在原点 则c 0 看与 轴的交点 情况 有两交点 则 0 有唯一交点 则 0 没有交点 则 0 b不能直接看出 可通过对称轴的位置 结合a的符号作出判断 对称轴在左侧 则a b同号 对称轴在右侧 则a b异号 简称 左同右异 正确 当 1
