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1、学 海 无 涯 章末检测 一 选择题 1 下列推理错误的是 A A l A B l B l B A A B B AB C l A l A D A l l A 2 长方体 ABCD A1B1C1D1中 异面直线 AB A1D1所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 3 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 4 在空间四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA
2、 上分别取 E F G H 四点 如果 EF GH 交于一点 P 则 A P 一定在直线 BD 上 B P 一定在直线 AC 上 C P 一定在直线 AC 或 BD 上 D P 既不在直线 AC 上 也不在直线 BD 上 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 6 已知平面 平面 l 点 A A l 直线 AB l 直线 AC l
3、直线 m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB m B AC m C AB D AC 7 如图 1 所示 在正方形 SG1G2G3中 E F 分别是 G1G2及 G2G3的中点 D 是 EF 的中点 现在沿 SE SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体 使 G1 G2 G3三点重合 重合后 的点记为 G 如图 2 所示 那么 在四面体 S EFG 中必有 学 海 无 涯 A SG EFG 所在平面 B SD EFG 所在平面 C GF SEF 所在平面 D GD SEF 所在平面 8 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 若 E 是 A1C1的中点 则直线 CE
4、垂直于 A AC B BD C A1D D A1D1 8 题图 9 题图 9 如图所示 将等腰直角 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角 此时 B AC 60 那么这个二面角大小是 A 90 B 60 C 45 D 30 10 如图 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的是 A BD 平面 CB1D1 B AC1 BD C AC1 平面 CB1D1 D 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 10 题图 11 题图 11 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A 6 3 B
5、2 6 5 C 15 5 D 10 5 12 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 CC1 2 2 E 为 CC1的中点 则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 二 填空题 13 设平面 平面 A C B D 直线 AB 与 CD 交于点 S 且点 S 位于平面 之间 AS 8 BS 6 CS 12 则 SD 14 下列四个命题 若 a b a 则 b 若 a b 则 a b 若 a 则 a 平行于 内所有的直线 若 a a b b 则 b 其中正确命题的序号是 15 如图所示 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 当底面四边形 A1B1C
6、1D1满足条件 时 有 A1C B1D1 注 填上你认为正确的一种情况即可 不必考虑所有可能的情况 学 海 无 涯 15 题图 16 题图 16 如图所示 已知矩形 ABCD 中 AB 3 BC a 若 PA 平面 AC 在 BC 边上取点 E 使 PE DE 则满足条件的 E 点有两个时 a 的取值范围是 三 解答题 17 如图所示 长方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 AB A1D1的中点 判断 MN 与平 面 A1BC1的位置关系 为什么 18 ABCD 与 ABEF 是两个全等正方形 AM FN 其中 M AC N BF 求证 MN 平面 BCE 19 如图 在四棱锥
7、P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 底面 ABCD E 是 PC 的中点 已 知 AB 2 AD 2 2 PA 2 求 1 三角形 PCD 的面积 2 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 20 如图所示 ABCD 是正方形 O 是正方形的中心 PO 底面 ABCD 底面边长为 a E 是 PC 的中点 1 求证 PA 面 BDE 2 求证 平面 PAC 平面 BDE 3 若二面角 E BD C 为 30 求四棱锥 P ABCD 的体积 学 海 无 涯 21 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 PA 底面 ABCD AC 2 2 PA 2 E 是 PC 上的
8、一点 PE 2EC 1 证明 PC 平面 BED 2 设二面角 A PB C 为 90 求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 学 海 无 涯 答案答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 B 9 A 10 D 11 D 12 D 13 9 14 15 B1D1 A1C1 答案不唯一 16 a 6 17 解 直线 MN 平面 A1BC1 M 为 AB 的中点 证明如下 MD 平面 A1BC1 ND 平面 A1BC1 MN 平面 A1BC1 如图 取 A1C1的中点 O1 连接 NO1 BO1 NO1綊1 2D1C1 MB 綊 1 2D1C1 NO1綊 MB 四边形 NO
9、1BM 为平行四边形 MN BO1 又 BO1 平面 A1BC1 MN 平面 A1BC1 18 证明 如图所示 连接 AN 延长交 BE 的延长线于 P 连接 CP BE AF FN NB AN NP 由 AC BF AM FN 得 MC NB FN NB AM MC AM MC AN NP MN PC 又 PC 平面 BCE MN 平面 BCE 19 解 1 因为 PA 底面 ABCD 所以 PA CD 又 AD CD 所以 CD 平面 PAD 从而 CD PD 因为 PD 22 2 2 2 2 3 CD 2 学 海 无 涯 所以三角形 PCD 的面积为1 2 2 2 3 2 3 2 如图
10、取 PB 中点 F 连接 EF AF 则 EF BC 从而 AEF 或其补角 是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在 AEF 中 由 EF 2 AF 2 AE 2 知 AEF 是等腰直角三角形 所以 AEF 45 因此 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 45 20 1 证明 连接 OE 如图所示 O E 分别为 AC PC 的中点 OE PA OE 面 BDE PA 面 BDE PA 面 BDE 2 证明 PO 面 ABCD PO BD 在正方形 ABCD 中 BD AC 又 PO AC O BD 面 PAC 又 BD 面 BDE 面 PAC 面 BDE 3 解 取 OC 中点 F
11、 连接 EF E 为 PC 中点 EF 为 POC 的中位线 EF PO 又 PO 面 ABCD EF 面 ABCD OF BD OE BD EOF 为二面角 E BD C 的平面角 EOF 30 在 Rt OEF 中 OF 1 2OC 1 4AC 2 4 a EF OF tan 30 6 12a OP 2EF 6 6 a VP ABCD 1 3 a 2 6 6 a 6 18a 3 21 1 证明 因为底面 ABCD 为菱形 所以 BD AC 又 PA 底面 ABCD 所以 PC BD 学 海 无 涯 如图 设 AC BD F 连接 EF 因为 AC 2 2 PA 2 PE 2EC 故 PC
12、2 3 EC 2 3 3 FC 2 从而PC FC 6 AC EC 6 因为PC FC AC EC FCE PCA 所以 FCE PCA FEC PAC 90 由此知 PC EF 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD EF 都垂直 所以 PC 平面 BED 2 解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG PB G 为垂足 因为二面角 A PB C 为 90 所以平面 PAB 平面 PBC 又平面 PAB 平面 PBC PB 故 AG 平面 PBC AG BC 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA AG 都垂直 故 BC 平面 PAB 于是 BC AB 所以底面 ABCD 为正方形 AD 2 PD PA2 AD2 2 2 设 D 到平面 PBC 的距离为 d 因为 AD BC 且 AD 平面 PBC BC 平面 PBC 故 AD 平面 PBC A D 两点到平面 PBC 的距离相等 即 d AG 2 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 则 sin d PD 1 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30
