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1、学 海 无 涯 第六章第六章 万有引力与航天万有引力与航天 一行星的运动一行星的运动 要点导学 要点导学 1 开普勒第一定律又称轨道定律 它指出 所有行星绕太阳运动的轨道是椭 圆 太阳位于椭圆轨道的一个焦点上 远日点是指 近日点是指 不同行星的椭圆轨道是不同的 太阳处在这些椭圆的一个公共焦点 上 2 开普勒第二定律又称面积定律 对任意一个行星来说 它与太阳的连线在 相等的时间内扫过相等的面积 所以行星在离太阳比较近时 运动速度 行星在离太阳较远时 运动速度 3 开普勒第三定律又称周期定律 内容是 所有行星的轨道的半长轴的三次 方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 该定律的数学表达式是 4 对于
2、多数大行星来说 它们的运动轨道很接近圆 因此在中学阶段 可以 把开普勒定律简化 认为行星绕太阳做匀速圆周运动 行星的轨道半径的三次方 跟它的公转周期的二次方的比值都相等 这样做使处理问题的方法大为简化 而 得到的结果与行星的实际运动情况相差并不大 5 开普勒行星运动定律 不仅适用于行星 也适用于其它卫星的运动 研究行 星运动时 开普勒第三定律中的常量 k 与 有关 研究月球 人造地球卫 星运动时 k 与 有关 6 地 心 说 是 指 日 心 说 是 指 以现在的目光来看地心说与日心说 不过是参考系的改变 但这是一次真正的科学革命 日心说的产生不仅仅是人们 追求描绘自然的简洁美 更是使得人们的世
3、界观发生了重大的变革 意大利科学 家布鲁诺曾为此付出生命的代价 两种观点的斗争反映了科学与反科学意识形态 及宗教神学的角逐 也能反映科学发展与社会文化发展的相互关系 范例精析 范例精析 例例1 地球绕太阳的运行轨道是椭圆 因而地球与太阳之间的距离随季节变化 冬至这天地球离太阳最近 夏至最远 下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大 小的说法中 正确的是 A 地球公转速度是不变的 B 冬至这天地球公转速度大 C 夏至这天地球公转速度大 D 无法确定 解析 解析 冬至地球与太阳的连线短 夏至长 根据开普勒第二定律 要在相等的时 间内扫过的面积相等 则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时 长
4、所以冬至时地球运动的速度比夏至的速度大 答案选 B 拓展 拓展 本题要比较行星在轨道不同位置时运动的快慢 可以比较相同时间内行星 学 海 无 涯 在不同位置时运动的路线长度 而开普勒第二定律则告诉了我们 相同时间内行 星与太阳的连线扫过的面积相等 根据几何关系 可以找到行星与太阳的连线扫 过的面积和行星运动路线长度的关系 从而解决问题 例例2 根据美联社2002年10月7日报道 天文学家在太阳系的9大行星之外 又发 现了一颗比地球小得多的新行星 而且还测得它绕太阳公转周期约为288年 若 把它和地球绕太阳公转的轨道看作圆 问它与太阳的距离是地球与太阳距离的多 少倍 最后结果可用根式表示 解析
5、解析 本题要求行星到太阳的距离 由于可以把该行星和地球的轨道看作圆 则 行星和地球到太阳的距离就是它们的轨道半径 题中给出了行星运动的周期 可 以根据开普勒第三定律直接求解 根据开普勒第三定律有 a地3 T地2 a行3 T行2 得 拓展 拓展 开普勒第三定律 揭示了行星运动轨道与运动周期之间的联系 当将行星 运动轨道看成圆时 公式中的半长轴就是行星运动的轨道半径 开普勒定律不仅 适用于行星 也适用于围绕同一行星运动的各个卫星 一般行星或卫星 人造卫 星 涉及到轨道和周期的问题 不管是椭圆轨道还是圆轨道 在中学物理中通 常运用开普勒分析 求解 例例3 飞船沿半径为 R 的圆轨道运动 其周期为 T
6、 如果飞船要返回地面 可在 轨道上的某一点 A 处减速 将速度降低到适当的数值 从而使飞船沿着以地心 为焦点的椭圆轨道运动 椭圆与地面的 B 点相切 实现着陆 如图所示 如果 地球半径为 R0 求飞船由 A 点运动到 B 点的时间 解析 解析 飞船先后在两个轨道上运动 一次作半径为 R 的圆周运动 一次是椭圆 轨道运动 飞船绕地球的圆轨道又可以看作两个焦点重合在地心的椭圆轨道 从 A 点运动到 B 点的时间就是飞船在椭圆轨道上运动周期的二分之一 可以利用 开普勒第三定律求出飞船在椭圆轨道运动的周期 进而求出飞船从 A 点到 B 点 的运动时间 设飞船的椭圆轨道的半长轴为 R1 运动周期为 T1
7、 根据开普勒第三定律有 学 海 无 涯 根据几何关系 解得 所以飞船从 A 点到 B 点所需要的时间为 拓展 拓展 运用开普勒第三定律计算天体的运动时间 一般都要寻找运动时间与天体 做椭圆运动周期的联系 天体运动的轨道半长轴 或轨道半径 则可以通过几何 关系与已知长度联系起来 再用开普勒第三定律建立天体运动的轨道半长轴 或 轨道半径 与天体运动周期联系 求得所需要的结果 能力训练 能力训练 1 关于太阳系中行星运动的轨道 以下说法正确的是 BC A 所有行星绕太阳运动的轨道都是圆 B 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 C 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的 D 不同行星绕太阳运动的椭
8、圆轨道是相同的 2 把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动 比较各行星周期 则离太阳 越远的行星 B A 周期越小 B 周期越大 C 周期都一样 D 无法确定 3 一年四季 季节更替 地球的公转带来了二十四节气的变化 一年里从立秋到立 冬的时间里 地球绕太阳运转的速度 在立春到立夏的时间里 地球公 转的速度 填 变大 变小 或 不变 变大 变小 4 有一颗叫谷神的小行星 它离太阳的距离是地球离太阳的2 77倍 那么它绕太 阳一周的时间是 年 4 6 5 一颗近地人造地球卫星绕地球运行的周期为84分钟 假如月球绕地球运行的 周期为30天 则月球运行的轨道半径是地球半径的 倍 64 6 天文观测
9、发现某小行星绕太阳的周期是27地球年 它离太阳的最小距离是地 球轨道半径的2倍 求该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的几倍 16倍 7 天文学者观测到哈雷慧星的周期是75年 离太阳最近的距离是8 9 1010m 但它离太阳最 远的距离不能测得 试根据开普勒定律计算这个最远距离 太阳系的开普勒常量 k 3 354 1018m3 s2 5 2 1012m 8 月球的质量约为7 35 1022kg 绕地球运行的轨道半径是3 84 105km 运行周期是27 3 天 则月球受到地球所施的向心力的大小是多少 4 7 1026 9 宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆形轨道 如果轨道半径是地球轨道 半
10、径的9倍 那么宇宙飞船绕太阳运动的周期是多少年 27年 10 一个近地 轨道半径可以认为等于地球半径 卫星 绕地球运动的周期为84 分钟 而地球同步通信卫星则位于地球赤道上方高空 它绕地球运行的周期等于 地球自转的周期 试估算地球同步通信卫星的高度 5 6R 学 海 无 涯 二 太阳与行星间的引力二 太阳与行星间的引力 要点导学 要点导学 1 天体引力的假设 牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用 如果没有力的作用物体将保持静止或匀速直线运动状态 行星围绕太阳运动 一 定受到了力的作用 这个力是太阳对行星的引力 2 太阳与行星间的引力推导思路 将椭圆轨道近似看作圆轨道来推导 1 行星
11、运动需要的向心力 根据开普勒第三定 律 得到 太阳对行星的引力 其中 m 为行星质量 r 为行星与太阳的距离 2 太阳和行星在相互作用中的地位是相同的 只要作相应的代换 就可以得 到结果 行星对太阳的引力 其中 M 为太阳的质量 r 为太阳到行星的 距离 3 因为这两个力是作用力与反作用力 大小相等 所以概括起来 得到 写成等式 比例系数用 G 表示 有 4 虽然在中学阶段只能将椭圆轨道近似看作圆轨道来推导 但仍要明确 牛 顿是在椭圆轨道下进行推导的 牛顿是在前人的基础上做出了伟大发现 牛顿 的发现还在于他有正确的科学思想和超凡的数学能力 范例精析 范例精析 例题 例题 证明开普勒第三定律中
12、各行星绕太阳公转周期的平方与公转轨道半径 的三次方的比值 k 是与太阳质量有关的恒量 解析 解析 行星绕太阳运动的原因是受到太阳的引力 引力的大小与行星质量 太阳质量及行星到太阳的距离 行星公转轨道半径 有关 这个引力使行星产生 向心加速度 而向心加速度与行星公转的周期和轨道半径有关 这样就能建立太 阳质量与行星公转周期和轨道半径之间的联系 设太阳质量为 M 某行星质量为 m 行星绕太阳公转周期为 T 半径为 R 将 行星轨道近似看作圆 万有引力提供行星公转的向心力 有 学 海 无 涯 得到 其中 G 是行星与太阳间引力公式中的比例系数 与太阳 行星都没有关系 可见星绕太阳公转周期的平方与公转
13、轨道半径的三次方的比值 k 是与太阳质量 有关的恒量 拓展 拓展 在解决有关行星运动问题时 常常用到这样的思路 将行星的运动近 似看作匀速圆周运动 而匀速圆周运动的向心力则由太阳对行星的引力提供 研 究其它天体运动也同样可以用这个思路 只是天体运动的向心力由处在圆心处的 天体对它的引力提供 能力训练 能力训练 1 有一星球的密度与地球的密度相同 但它表面处的重力加速度是地面上重力 加速度的4倍 则该星球的质量将是地球质量的 D A 1 4 B 4倍 C 16倍 D 64倍 2 对于太阳与行星间引力的表述式 下面说法中正确的是 D A 公式中 G 为引力常量 它是人为规定的 B 当 r 趋近于零
14、时 太阳与行星间的引力趋于无穷大 C 太阳与行星受到的引力总是大小相等的 方向相反 是一对平衡力 D 太阳与行星受到的引力总是大小相等的 方向相反 是一对作用力与反作用 力 3 关于太阳与行星间的引力 下列说法正确的是 BCD A 神圣和永恒的天体的匀速圆周运动无需要原因 因为圆周运动是最美的 B 行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力 C 牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用 行星围绕太阳运 动 一定受到了力的作用 D 牛顿把地面上的动力学关系应用到天体间的相互作用 推导出了太阳与行 星间的引力关系 4 在宇宙发展演化的理论中 有一种学说叫 宇宙膨胀说 就是天体的距离 在不断
15、增大 根据这理论 在很久很久以前 太阳系中地球的公转情况与现在相 比 BC A 公转半径较大 B 公转周期较小 C 公转速率较大 D 公转角速度较小 5 若火星和地球都绕太阳做匀速圆周运动 今知道地球的质量 公转的周期和 地球与太阳之间的距离 今又测得火星绕太阳运动的周期 则由上述已知量可求 出 BCD A 火星的质量 学 海 无 涯 B 火星与太阳间的距离 C 火星的加速度大小 D 火星做匀速圆周运动的速度大小 6 假设地球与月球间的引力与地球表面物体受到的重力是同种性质的力 即力 的大小与距离的二次方成反比 已知月心和地心的距离是地球半径的60倍 地球 表面的重力加速度为9 8m s2 试
16、计算月球绕地球做圆周运动的向心加速度 3 10 3m s2 7 假设某星球的质量约为地球质量的9倍 半径约为地球的一半 若地球上近地 卫星的周期为84分钟 则该星球上的近地卫星的周期是多少 9 9分钟 8 如果牛顿推导的太阳与行星间引力的表达式中 引力的大小与其距离的 n 次 方 n 2 成反比 各行星的周期与其轨道半径的二次方成正比 则 n 的值是多 大 n 3 学 海 无 涯 三 万有引力定律三 万有引力定律 要点导学 要点导学 1 牛顿经过长期的研究思考 提出了他的假想 行星与太阳间的引力 地球吸 引月球的力以及地球表面物体所受到的引力都是同一种性质的力 遵循同一个规 律 即它们的大小都与距离的二次方成反比 2 月 地检验 将月球的向心加速度与地面附近的重力加速度进行比较 证 明了地球对它表面附近物体的引力与地球对月球的引力以及太阳和行星间的引 力符合同样的规律 是同一种力 月 地检验 的过程 应用了 猜想假设 实验 事实 验证 的科学思想方法 月 地检验 基本思路是 月球到地心的距离是地面上物体到地心距离 地球半径 的60倍 如果月球受到地球的引力与地面上物体受到的力是同一种
