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1、学 海 无 涯 2 3 4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 课时目标 1 理解平面与平面垂直的性质定理 2 能应用面面垂直的性质定理证 明空间中线 面的垂直关系 3 理解线线垂直 线面垂直 面面垂直的内在联系 1 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一个平面内 于 的 直线与另一个平面垂直 用符号表示为 l a a l 2 两个重要结论 1 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在 图形表示为 符号表示为 A A a a 2 已知平面 平面 a a 那么 a 与 的位置关系 一 选择题 1 平面 平面 直线 a 则 A a B a C a 与 相
2、交 D 以上都有可能 2 平面 平面 l 平面 则 A l B l C l 与 斜交 D l 3 若平面 与平面 不垂直 那么平面 内能与平面 垂直的直线有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 无数条 4 设 l 是直二面角 直线 a 直线 b a b 与 l 都不垂直 那么 A a 与 b 可能垂直 但不可能平行 B a 与 b 可能垂直 也可能平行 C a 与 b 不可能垂直 但可能平行 D a 与 b 不可能垂直 也不可能平行 5 已知两个平面互相垂直 那么下列说法中正确的个数是 一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面
3、内的任意一条直线 过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线 垂足必落在交线上 过一个平面内的任意一点作交线的垂线 则此直线必垂直于另一个平面 A 4 B 3 C 2 D 1 6 如图所示 平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角分别为 4和 6 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足分别为 A B 则 AB A B 等于 A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 4 3 学 海 无 涯 二 填空题 7 若 l 点 P PD l 则下列命题中正确的为 只填序号 过 P 垂直于 l 的平面垂直于 过 P 垂直于 l 的直线垂直于 过 P 垂直于 的直线平行于 过 P 垂直于 的直线在 内 8 是
4、两两垂直的三个平面 它们交于点 O 空间一点 P 到 的距离分 别是 2 cM 3 cM 6 cM 则点 P 到 O 的距离为 9 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则点 C1在底面 ABC 上的射 影 H 必在 三 解答题 10 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC 平面 PAB 平面 PBC 求证 BC AB 11 如图所示 P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点 四边形 ABCD 是 DAB 60 且 边长为 a 的菱形 侧面 PAD 为正三角形 其所在平面垂直于底面 ABCD 1 若 G 为 AD 边的中点 求证 BG 平面 PAD 2 求
5、证 AD PB 能力提升 12 如图所示 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 a 的菱形 BCD 120 平面 PCD 平面 ABCD PC a PD 2a E 为 PA 的中点 求证 平面 EDB 平面 ABCD 学 海 无 涯 13 如图所示 在多面体 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD AB DC PAD 是 等边三角形 已知 BD 2AD 8 AB 2DC 4 5 1 设 M 是 PC 上的一点 求证 平面 MBD 平面 PAD 2 求四棱锥 P ABCD 的体积 1 面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理 应用时应注意 1 两平面垂直 2 直线必须在一个平面内
6、3 直线垂直于交线 2 此定理另一应用 由一点向一个平面引垂线 确定垂足位置是求几何体高的依据 2 3 4 平面与平面垂直的性平面与平面垂直的性质质 答案答案 知识梳理 1 垂直 交线 a 2 1 第一个平面内 a 2 a 作业设计 1 D 2 D 学 海 无 涯 在 面内取一点 O 作 OE m OF n 由于 m 所以 OE 面 所以 OE l 同理 OF l OE OF O 所以 l 3 A 若存在 1 条 则 与已知矛盾 4 C 5 B 6 A 如图 由已知得 AA 面 ABA 6 BB 面 BAB 4 设 AB a 则 BA 3 2 a BB 2 2 a 在 Rt BA B 中 A
7、B 1 2a AB A B 2 1 7 解析 由性质定理知 错误 8 7 cm 解析 P 到 O 的距离恰好为以 2 cm 3 cm 6 cm 为长 宽 高的长方体的对角线的长 9 直线 AB 上 解析 由 AC BC1 AC AB 得 AC 面 ABC1 又 AC 面 ABC 面 ABC1 面 ABC C1在面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上 10 证明 在平面 PAB 内 作 AD PB 于 D 平面 PAB 平面 PBC 学 海 无 涯 且平面 PAB 平面 PBC PB AD 平面 PBC 又 BC 平面 PBC AD BC 又 PA 平面 ABC BC 平面 ABC PA
8、BC BC 平面 PAB 又 AB 平面 PAB BC AB 11 证明 1 连接 PG 由题知 PAD 为正三角形 G 是 AD 的中点 PG AD 又平面 PAD 平面 ABCD PG 平面 ABCD PG BG 又 四边形 ABCD 是菱形且 DAB 60 BG AD 又 AD PG G BG 平面 PAD 2 由 1 可知 BG AD PG AD 所以 AD 平面 PBG 所以 AD PB 12 证明 设 AC BD O 连接 EO 则 EO PC PC CD a PD 2a PC2 CD2 PD2 PC CD 平面 PCD 平面 ABCD CD 为交线 PC 平面 ABCD EO 平
9、面 ABCD 又 EO 平面 EDB 平面 EDB 平面 ABCD 13 1 证明 在 ABD 中 AD 4 BD 8 AB 4 5 AD2 BD2 AB2 AD BD 学 海 无 涯 又 面 PAD 面 ABCD 面 PAD 面 ABCD AD BD 面 ABCD BD 面 PAD 又 BD 面 BDM 面 MBD 面 PAD 2 解 过 P 作 PO AD 面 PAD 面 ABCD PO 面 ABCD 即 PO 为四棱锥 P ABCD 的高 又 PAD 是边长为 4 的等边三角形 PO 2 3 在底面四边形 ABCD 中 AB DC AB 2DC 四边形 ABCD 为梯形 在 Rt ADB 中 斜边 AB 边上的高为4 8 4 5 8 5 5 此即为梯形的高 S四边形 ABCD 2 5 4 5 2 8 5 5 24 VP ABCD 1 3 24 2 3 16 3
