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1、 年中考 年模拟 三角形及其全等 考点清单 考点一 三角形的相关概念及边角性质 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次 相接所组成 的图形叫做三角形 三角形的分类 按边分 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按角分 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形的中位线 定义 连接三角形两边 中点 的线段叫三角形的中位线 性质 三角形的中位线 平行 于第三边 且等于第三 边的 一半 三角形三边关系 文字叙述数学语言理论依据图形 内 容 三角形两边之 和 大于 第 三边 在 中 为三边长 则 有 三角形 两边 之差小 于第
2、 三边 在 中 为三边长 则 有 两 点 之 间 线段 最短 应 用 判断三条线段能否组成三角形 已知三角形的两边长 求第三边长的取值范围 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 三角形内角和 定理的推论 直角三角形的两个锐角 互余 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和 考点二 全等三角形 全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等 对应角 相等 全等三角形的判定 判定 判定 三边分别相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或 判定 两边和它们的 夹角 分别相等的两个
3、三角形全等 简写成 边角边 或 判定 两角和它们的 夹边 分别相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 判定 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 方法一 三角形边的关系 判断已知长度的三条线段是否能够组成三角形的关键是灵 活巧妙地运用三角形三边关系 例 浙江金华 分 下列各组数中 不可能成为 一个三角形三边长的是 解析 选项 能 选项 能 选项 不能 选项 能 故选 答案 思路分析 三个数中 若较小的两数之和大于第三个数 则符合三角形的三边关系 就能成为一个三角形的三边长 否则 不能成
4、为一个三角形的三边长 变式训练 福建 分 下列各组数中 能作为一 个三角形三边边长的是 答案 解析 三角形的三边边长要满足 任意两边之和大于第 三边 任意两边之差小于第三边 选项 均不符合 故 选 变式训练 湖北黄冈 分 一个三角形的两边 长分别为 和 第三边长是方程 的根 则三角形 的周长为 答案 解析 不能作为该三角形的第三边长 三角形的第三边长为 三角形的周长为 第四章 图形的认识 方法二 利用图形变换与全等三角形的关系解题 经过图形的平移 旋转与轴对称变换后 往往能得到一些新 的等量关系 这些等量关系为三角形的全等证明提供了条件 例 烟台 分 操作发现 如图 为等边三角形 先将三角板中
5、的 角与 重合 再将三角板绕点 按顺时针方向旋转 旋转角大于 且小于 旋转后三角板的一直角边与 交于点 在三角 板斜边上取一点 使 线段 上取点 使 连接 求 的度数 与 相等吗 请说明理由 类比探究 如图 为等腰直角三角形 先将三 角板的 角与 重合 再将三角板绕点 按顺时针方向旋 转 旋转角大于 且小于 旋转后三角板的一直角边与 交于点 在三角板另一直角边上取一点 使 线段 上取点 使 连接 请直接写出探究结果 的度数 线段 之间的数量关系 解析 由旋转的性质可知 为等边三角形 在 和 中 理由如下 在 和 中 理由如下 由旋转的性质可知 等腰直角三角形 在 和 中 理由如下 在 和 中
6、在 中 由 可知 变式训练 辽宁沈阳 分 已知 是等 腰三角形 点 在边 上 点 在边 上 点 点 不与所在线段端点重合 连接 射线 延长 交射线 于点 点 在直线 上 且 如图 当 时 求证 求 的度数 当 其他条件不变时 的度数是 用含 的代数式表示 若 是等边三角形 点 是 边上的三 等分点 直线 与直线 交于点 请直接 写出线段 的长 备用图 备用图 解析 证明 即 或 或 详解 由 在直线 上 可知 分两种情况讨论 如 图 与 在点 异侧 可得 如图 与 在点 同侧 可得 年中考 年模拟 图 图 由点 是 边上的三等分点可知 分两种情况讨论 如图 当 时 由 可得 由 得 又由 可得
7、 过点 作 于 由勾股定理可得 由 知 从而可得 图 图 如图 当 时 与 同法可求得 思路分析 由 边角边 可证三角形全等 由等边对等角可得 由 可得 由两直线平行 内错角相等 可 得 而 分 与 在点 同侧和异侧两种情况讨论求解 为 的三等分点 分类讨论 和 两种情况 易错警示 本题的易错点在于审题 第 问 在直线 上 第 问点 是 边上的三等分点 都需要分类讨论 方法三 合理选择全等三角形的判定方法 由判定两个三角形全等的方法可知 要判定两个三角形 全等 需要知道这两个三角形分别有三个元素 其中至少一个元 素是边 对应相等 这样就可以利用题目中的已知边 角 迅速准 确地确定要补充的边 角 有目的地完善三角形全等的条件 从 而得到判定两个三角形全等的思路 已知两边 找夹角 找直角 找第三边 已知 一边 一角 一边为角的对边 找另一角 一边为角 的邻边 找夹角的另一边 找夹边的另一角 找边的对角 已知两角 找夹边 找其中一角的对边 若题中没有全等的三角形 可根据题中条件合理地添加 辅助线 如作高法 倍长中线法 截长补短法 分解图形法等来解 答运动 拼接 旋转等探究性题目 例 浙江温州 分 如图 在五边形 中 求证 当 时 求 的度数 解析 证明 由 得 五边形 的内角和为 变式训练 四川泸州 分 如图 是线段 的中点 求证 证明 是线段 的中点 在 和 中
