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1、第六章 空间与图形 图形的相似 考点一 相似的有关概念及性质 在同一长度单位下 两条线段的长度之比叫做两条线段 的比 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比 那么这四条线段叫成比例线段 简称比例线段 若 或 则 叫做 的 比例 中项 比例的基本性质 合比性质 等比性质 均不为 且 若线段 上一点 把线段 分成 两部分 并 且使 则这种分割叫黄金分割 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长 线 所得的对应线段成比例 如果两个三角形的对应角相等 对应边成比例 那么 这两个三角形叫做相似三角形 相似三角形的性质 对应角相等 对
2、应边成比例 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 如果两个图形相似 并且它们的对应点所在直线交于一 点 那么这两个图形叫位似图形 这一点叫位似中心 对应边的比 叫位似比 位似比等于相似比 考点二 相似图形的判定 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理 两角对应相等的两个三角形 相似 相似三角形的判定定理 两边对应成比例 且夹角相 等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 三边对应成比例的两个三角 形相似 直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜 边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 成比例 那么这两个直角三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三
3、 角形与原三角形相似 考点三 相似图形的应用 相似图形的应用主要包括两方面 几何背景下的综合应 用问题 与相似相关的实际应用问题 方法一 判定两个三角形相似的基本策略 判 定 两 个 三 角 形 相 似 的 基 本 策 略 两边对应成比例 找夹角相等 找第三边对应成比例 一对等角 再找一对等角 判定定理 找夹角的两边对应成比例 判定定理 平行线利用相似三角形的预备定理 一对直角 再找一对等角 利用斜边 直角边对应成比例 等腰关系 找顶角相等 找底角相等 找底边和腰对应成比例 例 已知 中 如图 点 为 的中点 在线段 上取点 使 与 相似 求线段 的长 图 是由 个边长为 的小正方形组成的 正
4、 方形网格 设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形 请你在所给的网格中画出格点 使得 与 全等 画出一个即可 不需证明 试直接写出在所给的网格中与 相似且面积最大的 格点三角形的个数 并画出其中的一个 不需证明 图 图 解题导引 两个三角 形相似 有公 共角 对应边 不确定 分类 讨论 与 为对应边 与 为对应边 先由题意得知所求作三角形的各边长 再画图 解析 当 时 有 为 的中点 年中考 年模拟 当 时 有 为 的中点 的长为 或 画出一个正确的图形即可 如图 个 画出的一个格点三角形如图所示 变式训练 如图 小正方形的边长均为 则下列图中的三 角形 阴影部分 与 相似的是 解析 因
5、图中 是一个钝角为 的钝角三角形 用排除法可排除 故选 答案 方法二 利用相似三角形列代数式的方法解题 在解题过程中要关注几何图形和相似的性质 尤其是要能 够通过相似得到比例式 从而将未知线段用含字母的代数式表 示出来 另外 要熟练掌握等线段代换 等比代换 等量代换等 技巧 例 如图 和 是两个全等的等腰直角三角 形 的顶点 与 的斜边 的中点重合 将 绕点 旋转 旋转过程中 线段 与线段 相交于点 线段 与射线 相交于点 如图 当点 在线段 上 且 时 求证 如图 当点 在线段 的延长线上时 求证 并求当 时 两点间的距离 用含 的代数式表示 解题导引 观察 图形 利用 证明 三角形全等 观察 图形 利用相似三角形 的判定定理证明相似 利用相似 的性质 等量代换 等线段代换 找线段间的关系 利用勾股定理 表示两点距离 解析 证明 是等腰直角三角形 是 的中点 在 和 中 且 在 和 中 又 当 时 是等腰直角三角形 两点间的距离
