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1、第八章 专题拓展 阅读理解型 题型特点 阅读理解型问题一般篇幅较长 题中提供的阅读材料内容丰 富 有与数学有关的知识拓展及应用的阅读 也有与其他学科相关 的阅读 问题构思新颖 题材多变 集阅读 理解 应用于一体 一般包 括情境阅读 定义 新概念 阅读 数学知识拓展阅读等 命题趋势 主要考查学生对数学知识的理解和应用 以及收集处理信 息的能力 选材广泛 信息量大 灵活性高 试题的形式多样 题型一 展现思维或解题过程的阅读理解题 解答阅读理解题的关键在于阅读 核心在于理解 目的是应 用 通过阅读 理解材料中所提供的知识要点 数学思想 进而找 到解题的方法 解决实际问题 该类题常常给出试题的解法 从
2、题型上看 有展示全貌 留 空补缺的 有说明解题理由的 有要求先归纳规律再解决问题 的 题目多样 重点考查学生严密的逻辑推理能力 如演绎推理 类比推理 例 江苏南京 分 如图 把函数 的图 象上各点的纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 得到函数 的图象 也可以把函数 的图象上各点的横坐标变为原来 的 纵坐标不变 得到函数 的图象 类似地 我们可以认识其他函数 把函数 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 得到函数 的图象 也可以把函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不 变 得到函数 的图象 已知下列变化 向下平移 个单位长度 向右平移 个单位长度 向右平移 个单位长度 纵坐标
3、变为原来的 倍 横坐标不变 横坐标变为原来的 纵坐标不变 横坐标 变为原来的 倍 纵坐标不变 函数 的图象上所有的点经过 得到函 数 的图象 为了得到函数 的图象 可以把函数 的图象上所有的点 函数 的图象可以经过怎样的变化得到函数 的图象 写出一种即可 解析 分 分 分 本题答案不唯一 下面的解法供参考 先把函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度 得到函数 的图象 再把函数 的图象上所有的点的 纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 得到函数 的图象 最后把函数 的图象上所有的点向下平移 个单位长度 得到函数 的图象 分 例 贵州贵阳 分 如图 在 中 以 下是小亮探索 与 之间关系的方法 根
4、据你掌握的三角函数知识 在图 的锐角 中 探索 之间的关系 并写出探索过程 解析 如图 过点 作 边上的高 年中考 年模拟 图 在 中 在 中 同理 如图 过点 作 边上的高 图 在 中 在 中 综上 好题精练 河北 分 求证 菱形的两条对角线互相垂直 如图 四边形 是菱形 对角线 交于点 求证 以下是打乱的证明过程 又 即 四边形 是菱形 证明步骤正确的顺序是 答案 证明过程应为 四边形 是菱形 又 即 故证明步骤正确的顺序是 故选 北京 分 在等边 中 如图 是 边上两点 求 的度数 点 是 边上的两个动点 不与 重合 点 在 点 的左侧 且 点 关于直线 的对称点为 连接 依题意将图 补
5、全 小茹通过观察 实验 提出猜想 在点 运动的过程 中 始终有 小茹把这个猜想与同学们进行交流 通 过讨论 形成了证明该猜想的几种想法 想法 要证 只需证 是等边三角形 想法 在 上取一点 使得 要证 只 需证 想法 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 要证 只需证 请你参考上面的想法 帮助小茹证明 一种方法 即可 解析 为等边三角形 补全的图形如图所示 证法一 过点 作 于点 如图 由 为等边三角形 可得 点 关于直线 对称 为等边三角形 证法二 在 上取一点 使 连接 如图 由 为等边三角形 可得 为等边三角形 由 可得 又 点 关于直线 对称 第八章 专题拓展 证法三 将线段 绕点 顺时
6、针旋转 得到 连接 如图 易知 为等边三角形 由 为等边三角形 可得 由 可得 点 关于直线 对称 四边形 为平行四边形 题型二 数字类 新概念 新运算 阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法 让你去解决新 问题 这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力 能考查 解题者接收 加工和利用信息的能力 解决该类题的关键是认真 阅读题目 并正确理解引进的新知识 例 重庆 卷 分 对任意一个三位数 如 果 满足各数位上的数字互不相同 且都不为零 那么称这个数 为 相异数 将一个 相异数 任意两个数位上的数字对调后可 以得到三个不同的新三位数 把这三个新三位数的和与 的 商记为 例如 对调百位
7、与十位上的数字得到 对调百位与个位上的数字得到 对调十位与个位上的数字得 到 这三个新三位数的和为 所以 计算 若 都是 相异数 其中 都是正整数 规定 当 时 求 的最大值 解析 分 都是 相异数 分 且 都是正整数 或 或 或 或 或 是 相异数 且 是 相异数 且 满足条件的有 或 或 或 或 或 或 的最大值为 分 例 广东广州 分 定义新运算 若 是方程 的两根 则 的 值为 与 有关 解析 是方程 的两根 由定义的新运算可得 答案 评析 对于定义的新运算必须抓住运算的本质特征 转 化为熟悉的运算从而解决问题 本题通过定义新运算考查学生的 转化能力 好题精练 广东梅州 分 对于实数
8、定义一种新运算 这里等式右边是实数运算 例如 则方程 的解是 答案 根据新运算可知 原式可化为 解得 经检验 是原方程的解 故选 吉林 分 我们规定 当 为常数 时 一次函数 与 互为交换函数 例如 的交换函数为 一次函数 与它的交换函 数图象的交点横坐标为 答案 解析 的交换函数为 令 则 由题意得 所以 所以交点横坐标是 重庆 分 对任意一个四位数 如果千位与十位 上的数字之和为 百位与个位上的数字之和也为 则称 为 极数 请任意写出三个 极数 并猜想任意一个 极数 是否是 的倍数 请说明理由 如果一个正整数 是另一个正整数 的平方 则称正整数 是完全平方数 若四位数 为 极数 记 求 满
9、足 是完全平方数的所有 解析 分 任意一个 极数 是 的倍数 理由 设任意一个 极数 的千 位数字为 百位数字为 其中 且 为整 数 则十位上的数字为 个位上的数字为 则这个数可 年中考 年模拟 以表示为 化简 得 且 为整数 为整数 任意一个 极数 都是 的倍数 分 由 可知 设任意一个 极数 的千位数字为 百位数 字为 其中 且 为整数 则 极数 可 表示为 分 为完全平方数且 是 的倍数 或 或 或 分 当 时 得 解得 此时 当 时 得 解得 此时 当 时 得 解得 此时 当 时 得 解得 此时 综上 满足条件的 为 分 题型三 图形类 新定义 阅读理解题 分析和提取材料与图形中的信息
10、 选择合理的几何性质 对 数据进行加工 提炼和应用 该类型题主要考查学生的阅读理解 能力和识图能力 例 江西 分 我们定义 如图 在 中 把 绕点 顺时针旋转 得到 把 绕 点 逆时针旋转 得到 连接 当 时 我们称 是 的 旋补三角形 边 上的中线 叫做 的 旋补中线 点 叫做 旋补中心 特例感知 在图 图 中 是 的 旋补三角形 是 的 旋补中线 如图 当 为等边三角形时 与 的数量关系 为 如图 当 时 则 长为 猜想论证 在图 中 当 为任意三角形时 猜想 与 的 数量关系 并给予证明 拓展应用 如图 在四边形 中 在四边形内部是否存在点 使 是 的 旋补三角形 若存在 给予证明 并求
11、 的 旋 补中线 长 若不存在 说明理由 图 解析 分 分 猜想 分 证明 证法一 如图 延长 至 使 连接 是 的 旋补中线 四边形 是平行四边形 由定义可知 分 分 证法二 如图 延长 至 使 连接 由定义可知 分 是 的中位线 分 证法三 如图 将 绕点 顺时针旋转 的度数 得到 此时 与 重合 设 的对应点为 连接 显然 由定义可知 第八章 专题拓展 由旋转得 三点在同一直线上 分 是 的中位线 分 注 其他证法参照给分 存在 分 如图 以 为边在四边形 的内部作等边 连接 延长 交 于点 则有 过点 作 于点 易知四边形 为矩形 分 且易知 又 是 的 旋补三角形 分 在 中 在 中
12、 分 是 的 旋补三角形 由 知 的 旋补中线 长为 分 求解 旋补中线 补充解法如下 如图 分别延长 相交于点 在 中 过 作 交 于点 在 中 在 中 分 是 的 旋补三角形 由 知 的 旋补中线 长为 分 注 其他解法参照给分 例 北京 分 对于平面直角坐标系 中的 图形 给出如下定义 为图形 上任意一点 为图形 上任意一点 如果 两点间的距离有最小值 那么称这个最小 值为图形 间的 闭距离 记作 已知点 求 点 记函数 的图象为图形 若 直接写出 的取值范围 的圆心为 半径为 若 直接写出 的取值范围 解析 如图 点 到 上的点的距离的最小值 为 即 点 图 的取值范围为 且 提示 如
13、图 的图象经过原点 在 范围内 函数图象为线段 当 的图象经过 时 此时 当 的图象经过 时 此时 年中考 年模拟 且 的取值范围为 或 或 提示 与 的位置关系分三种情况 如图 在 的左侧时 此时 在 的内部时 此时 在 的右侧时 此时 综上所述 或 或 图 解题关键 解决本题的关键是要从点到点的距离中发现 点到直线的距离和平行线间的距离 好题精练 四川成都 分 设双曲线 与直线 交于 两点 点 在第三象限 将双曲线在第一象限的一 支沿射线 的方向平移 使其经过点 将双曲线在第三象限 的一支沿射线 的方向平移 使其经过点 平移后的两条曲 线相交于 两点 此时我们称平移后的两条曲线所围部分 如
14、图中阴影部分 为双曲线的 眸 为双曲线的 眸径 当双曲线 的眸径为 时 的值为 答案 解析 如图所示 以 为边 作矩形 交双曲线在第 一象限的一支于点 点 联立得 得 点坐标为 点坐标为 由双曲线的对称性 得 的坐标为 点平移到 点与 点平移到 的距离相同 点向右平移 个 单 位 向 上 平 移 个 单 位 得 到 的 坐 标 为 点 在反比例函数 的图象上 代入得 解得 思路分析 以 为边 作矩形 交双曲线在第一象限 的一支于点 点 联立直线 及双曲线解析式得方程组 即可求出点 点 的坐标 由 的长度以及对称性可得点 的坐标 根据平移的性质得 求出点 的坐标 代入 得出关于 的方程 解之得 值 疑难突破 本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点 问题 反比例函数图象上点的坐标特征 矩形的性质 难点是 点的坐标的确定 关键是根据平移的性质判断 由 两点的坐标确定平移方向和距离是突破点 再把点 进行 相同的平移可以求出点 的坐标 上海 分 我们规定 一个正 边形 为整数 的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正 边形 的 特征值 记为 那么 答案 解析 如图 在正六边形中 为最长对角线之一 为最 短对角线之一 可求得 思路分析 确定最长及最短对角线 构造直角三角形 利用 锐角三角函数求比值 即 一题多解 如图 设正六边形的边长为 可求得 即
