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1、 实验操作型 题型特点 常见的形式有裁剪与拼接 折叠与对称 平移与旋转 作图 与测量等 重点考查学生的实践能力和创新意识 命题趋势 在动手操作的过程中 让学生感受到数学学习的乐趣和价 值 经历 数学化 和 再创造 的过程不断提高学生的创新意识 和综合能力 一般用到三角形 四边形 圆的性质等知识解题 解 答题较多 题型一 裁剪 拼接 作图 五种基本作图 基本 作图 作一条线 段等于已 知线段 作一个 角等于 已知角 作已知角 的平分线 过一点作 已知直线 的垂线 作已知线 段的垂直 平分线 图形 分割与拼接问题通常先给出一个图形 然后让你用直线 或弧线将图形分成特殊形状或面积相等的几部分 解决这
2、类问 题可借助对称的性质 角度的大小 面积公式等进行求解 例 福建 分 如图 中 垂足为 求作 的平分线 分别交 于 两点 并证明 要求 尺规作图 保留作图痕迹 不写作法 解析 如图 是所求作的 的平分线 是所 求作的点 证明如下 例 北京 分 下面是小东设计的 过直线外 一点作这条直线的平行线 的尺规作图过程 已知 直线 及直线 外一点 求作 直线 使得 作法 如图 在直线 上取一点 作射线 以点 为圆心 长为 半径画弧 交 的延长线于点 在直线 上取一点 不与点 重合 作射线 以点 为圆心 长为半径画弧 交 的延长线于点 作直线 所以直线 就是所求作的直线 根据小东设计的尺规作图过程 使用
3、直尺和圆规 补全图形 保留作图痕迹 完成下面的证明 证明 填推理的依据 解析 补全图形 如图所示 三角形的中位线平行于三角形的第三边 好题精练 云南昆明 分 如图 点 在双曲线 上 过点 作 轴 垂足为点 分别以点 和点 为圆 心 大于 的长为半径作弧 两弧相交于 两点 作直线 交 轴于点 交 轴于点 连接 若 则 的值为 第八章 专题拓展 答案 设 与 交于点 由题意知 为线段 的垂直平分线 在 中 易证 故选 四川成都 分 如图 在矩形 中 按以下步骤 作图 分别以点 和 为圆心 以大于 的长为半径作 弧 两弧相交于点 和 作直线 交 于点 若 则矩形的对角线 的长为 答案 解析 如图 连
4、接 由作图方法得 垂直平分 在 中 在 中 安徽 分 在三角形纸片 中 将该纸片沿过点 的直线折叠 使点 落在斜 边 上的一点 处 折痕记为 如图 剪去 后得 到双层 如图 再沿着过 某顶点的直线将双层 三角形剪开 使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形 则所得平行四边形的周长为 答案 或 只写出一个正确答案得 分 解析 由已知可知 又 所以 则 设 则 在直角三角形 中 解得 所以 经分析可知满 足题意的剪法有以下两种 取 的中点 连接 沿 剪开所得四边形 是平行四边形 也是菱形 其边长 为 故其周长为 作 的平分线 沿 剪开所得四边形是平行四边形 也是菱形 其边长 故其周长为 综上 所求
5、周长为 或 北京 分 下面是 作已知直角三角形的外接圆 的尺规作图过程 已知 求作 的外接圆 作法 如图 分别以点 和点 为圆心 大于 的长为半径作弧 两弧相交于 两点 作直线 交 于点 以 为圆心 长为半径作 即为所求作的圆 请回答 该尺规作图的依据是 答案 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 两点确定一条直线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半 圆的定义 江苏南京 分 如图 在 中 是 上一 点 延长 到点 使 求证 用直尺和圆规在 上作出一点 使 保 留作图的痕迹 不写作法 年中考 年模拟 解析 证明 四边形 是平行四边形 又 分 图中 就是所求作的点 分 福建 分 求证
6、相似三角形对应边上的中线之比 等于相似比 要求 根据给出的 及线段 以 线段 为 一 边 在 给 出 的 图 形 上 用 尺 规 作 出 使得 不写作法 保留作图 痕迹 在已有的图形上画出一组对应中线 并据此写出已知 求证和证明过程 解析 如图 即为所求作的三角形 已知 如图 求证 证明 又 题型二 折叠与对称 图形的折叠属于全等变换 即操作前后的两个图形是全等 的 这就为解决问题提供了很多边 角相等的条件 另外 折叠还 是轴对称变换 解决问题时还可以运用轴对称的性质 该类题型 综合性较强 但是难度不大 例 江苏苏州 分 如图 在 中 点 分别在 上 且 将 沿 所在直线折叠得到 点 在四边形
7、 内 连接 则 的长为 解析 由折叠知 为等边三角形 四边形 为菱形 作 于点 在 中 易得 在 中 答案 好题精练 山东威海 分 如图 在矩形 中 点 为 的中点 将 沿 折叠 使点 落在矩形内 点 处 连接 则 的长为 答案 连接 交 于 则 垂直平分 点 为 的中点 又 故选 新疆乌鲁木齐 分 如图 在 中 点 是 的中点 点 是边 上一动 点 沿 所在直线把 翻折到 的位置 交 于点 若 为直角三角形 则 的长为 第八章 专题拓展 答案 或 解析 易知 不可能为直角 当 是直角时 如图 图 是直角 又 且易知 由 翻折可知 当 是直角时 如图 图 连接 由翻折可知 又易证 又 故可证
8、延长 交 于 可得 易知 垂直平分 在直角三角形 中 由 可求得 在直角三角形 中 将 代入 可得 综上 或 四川成都 分 如图 把一张正方形纸片对折得 到长方形 再沿 的平分线 折叠 如图 点 落在点 处 最后按图 所示方式折叠 使点 落在 的中 点 处 折痕是 若原正方形纸片的边长为 则 答案 解析 如图 连接 作 于点 作 于点 设 与 交于点 由题意知 在 中 由对称性得 垂直平分 又 山东临沂 分 如图 将一矩形纸片 折叠 使 两个顶点 重合 折痕为 若 则 的 面积为 答案 解析 由折叠知 设 则 在 中 即 解得 所以 天津 分 将一个直角三角形纸片 放置在平 面直角坐标系中 点
9、 点 点 是边 上的一点 点 不与点 重合 沿着 折叠该纸片 得 点 的对应点 如图 当点 在第一象限 且满足 时 求点 的坐标 如图 当 为 中点时 求 的长 当 时 求点 的坐标 直接写出结果即可 解析 点 点 根据题意 由折叠可知 由 得 在 中 点 的坐标为 在 中 是 的中点 年中考 年模拟 是等边三角形 由 知 又 四边形 是平行四边形 点 的坐标为 或 详解 不是直角 设 当 时 由折叠可得 即 解得 这时点 在 轴上 设直线 的解析式为 把点 点 代入得 解得 直线 的解析式为 点 在直线 上 令 解得 当 时 即 解得 这时点 在第二象限 过点 作 于 综上所述 当 时 点
10、的坐标为 或 题型三 平移与旋转 以图形的平移或旋转为背景 多与相似三角形的判定和性 质结合 解题时 要注意平移 旋转前后的图形全等 再利用全等 图形的对应角相等 对应边相等及对应点到旋转中心的距离相 等来解题 例 辽宁沈阳 分 如图 在矩形 中 将矩形 绕点 按顺时针方向旋转得到矩形 点 落在矩形 的边 上的点 处 连接 则 的长是 解析 解法一 连接 在 中 在 中 又 即 解法二 过点 作 于点 又 即 第八章 专题拓展 在 中 在 中 答案 例 天津 分 在平面直角坐标系中 四边形 是矩形 点 点 点 以点 为中 心 顺时针旋转矩形 得到矩形 点 的对应点 分别为 如图 当点 落在 边
11、上时 求点 的坐标 如图 当点 落在线段 上时 与 交于点 求证 求点 的坐标 记 为矩形 对角线的交点 为 的面积 求 的取值范围 直接写出结果即可 图 图 解析 点 点 四边形 是矩形 矩形 是由矩形 旋转得到的 在 中 有 点 的坐标为 证明 由四边形 是矩形 得 又点 在线段 上 得 由 知 又 由 得 又在矩形 中 设 则 在 中 有 解得 点 的坐标为 思路分析 根据点的坐标及旋转的性质得 在直角 中运用勾股定理可求 的长 从而可确定 点坐标 根据直角三角形全等的判定方法进行判定 由 知 再根据矩形的性质得 从而 故 在 中 运用勾股定理可求 得 的长 得出 点的坐标 在矩形旋转的
12、过程中 根据点 与直线 的距离范围即可确定 的取值范围 提示 如图 当矩形顶点 在线段 上时 点 到直 线 的距离最小 最小值为线段 的长 图 如图 当矩形顶点 在 的延长线上时 点 到直线 的距离最大 最大值为线段 的长 所以 图 好题精练 河北 分 已知正方形 和正六边形 边长均为 把正方形放在正六边形中 使 边与 边重合 如图所示 按下列步骤操作 年中考 年模拟 将正方形在正六边形中绕点 顺时针旋转 使 边与 边 重合 完成第一次旋转 再绕点 顺时针旋转 使 边与 边重合 完成第二次旋转 在这样连续 次旋转的过程中 点 间的距离可能是 答案 在第一次旋转过程中 在第二次旋转过程 中 点
13、位置不变 在第三次旋转过程中 的长由 逐渐变小为 在第四次旋转过程中 点 在以点 为圆 心 为半径的圆弧上 的长由 逐渐变小为 然 后逐渐变大为 在第五次旋转过程中 的长由 逐 渐变大为 在第六次旋转过程中 点 位置不变 显然 连续 次旋转的过程中 点 间的距离可能是 故选 解题关键 解决本题的关键是求出每个旋转过程中 长 的变化范围 辽宁沈阳 分 在 中 将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 旋转角为 点 的对应点为点 点 的对应点为点 连接 如图 当 时 延长 交 于点 求证 是等边三角形 求证 请直接 写出 的长 在旋转过程中 过点 作 垂直于直线 垂足为点 连接 当 且线段 与线段 无公共 点时 请直接 写出 的值 温馨提示 学生可以根据题意 在备用图中补充图形 以便 作答 解析 证明 绕点 按顺时针方向旋转 得到 是等边三角形 证明 由 得 是等边三角形 绕点 按顺时针方向旋转 得到 又 点 在 的中垂线上 垂直平分 点 在 的延长线上
