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1、 二次函数 考点一 二次函数的图象与性质 概念 一般地 形如 为常数 的函数叫做二次函数 二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 最值 当 时 有最 小 值 当 时 有最 大 值 增 减 性 在对称 轴左侧 随 的增大而 减小 随 的增大而 增大 在对称 轴右侧 随 的增大而 增大 随 的增大而 减小 二次函数的另外两种表达方式 顶点式 顶点坐标为 对称轴是直线 当 时 有最值 交点式 抛物线与 轴的交点为 对称轴是直线 二次函数解析式的求法 方法 待定系数法 每确定一个字母系数 就需要一个已知 点或条件 把已知点的坐标代入函数解析式 或者用已知条件列
2、出方程 求得该字母系数的值 写出函数解析式 方法 平移图象法 在判断平移后的函数时 可以用平移规 律 上加下减 左加右减 直接写出 也可以把二次函数解析式化 为顶点式 按照平移的方式 求出新函数的顶点 用顶点式写出 新函数 考点二 系数 的作用 决定抛物线开口方 向及大小 抛物线开口 向上 抛物线开口 向下 续表 决定抛物线对称轴 的位置 对称轴为 直线 对称轴为 轴 对称轴在 轴 左侧 对称轴在 轴 右侧 决定抛物线与 轴 交点的位置 抛物线过 原点 抛物线与 轴交于正半轴 抛物线与 轴交于负半轴 决定抛物线与 轴 的交点个数 时 与 轴有唯一交点 顶点 时 与 轴有两个不同 交点 时 与
3、轴没有交点 特殊关系 当 时 当 时 即当 时 即当 时 考点三 二次函数与方程 不等式之间的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系 二次函数 中 当 时 的取值就 是一元二次方程 的解 即 的图象与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的实数根 抛物线 与 轴交点的数量由 的符号来 确定 一元二次方程 的解就是直线 与抛物 线 的交点的横坐标 解的数量就是交点的个数 直线 与抛物线 的交点坐标就是方 程组 的解 二次函数与一元二次不等式之间的关系 一元二次不等式 的解集就是抛物线 位于 轴上方部分的自变量 的取值范围 一元二次不等 式 的解集就是抛物线 位于 轴下方部 分的自变量 的取值范围 一
4、元二次不等式 的解集就是抛物线 在直线 上方部分的自变量 的取值范围 一元二次不 等式 的解集就是抛物线 在直线 下 方部分的自变量 的取值范围 一元二次不等式 的解集就是抛物线 在直线 上方部分的自变量 的取值范围 一 元二次不等式 的解集就是抛物线 在直线 下方部分的自变量 的取值范围 第三章 变量与函数 方法一 待定系数法求二次函数的解析式 若已知抛物线上三点的坐标 则可采用一般式 利用待定系数法求得 的值 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程 则可采用顶点 式 其中顶点坐标为 对称轴为直 线 若已知抛物线与 轴的交点的横坐标 则可采用交点 式 其中与 轴的交点坐标为 例 广西百色 分 经
5、过 三点的抛物线的解析式是 解析 根据题意设抛物线的解析式为 把 代入得 即 则抛物线的解析式为 答案 变式训练 河南 分 已知 是抛物线 上两点 该抛物线的顶点坐标是 答案 解析 把 分别代入 中 得 解得 抛物线的解析式为 该抛物线的顶点坐标为 方法二 利用函数的图象和性质判断字母的取值 范围 在比较几个点的纵坐标大小时 方法一是画出图象 标出 这几个点 由点的上下位置来判断 方法二是先判断这几个点是 否在对称轴的同一侧 不在同一侧的 按照抛物线的对称性 找 到对称点 然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小 在判断有关 的式子的符号时 主要从抛物线开口方 向 对称轴的位置 特殊点等几个方
6、面判断 判断不等式的解集时 可以先观察函数图象的位置 确定 符合题意的自变量 的取值范围 例 黑龙江齐齐哈尔 分 如图 抛物线 的对 称轴为直线 与 轴的一个交点在 和 之间 其部分图象如图所 示 则下列结论 为实数 点 是该抛物线上的点 则 正确结论的个数是 解析 抛物线的对称轴为直线 故 正确 与 轴的一个交点在 和 之间 由抛物线的对称性知 另一个交点在 和 之间 抛物线与 轴的交点在 轴的负半轴上 即 故 正确 由 知 时 且 即 故 正确 由函数图象知当 时 函数取得最大值 即 为实数 故 错误 抛物线的开 口向下 且对称轴为直线 抛物线上的点离对称轴的水 平距离越小 函数值越大 故
7、 错误 故选 答案 方法三 二次函数图象的平移规律 在判断平移后的函数图象时 用平移规律 上加下减 左加 右减 直接写出 给出两个二次函数 判断平移的方法时 要把二 次函数解析式化为顶点式 按照顶点的变化写出平移方法 例 江苏盐城 分 如图 将 函数 的图象沿 轴向上平移 得到一个新函数的图象 其中点 平移后的对应点分别为点 若曲线段 扫过的面积为 图中的阴影部分 则新函 数的表达式是 解析 函数 的图象过点 过 作 轴 交 的延长线于点 则 曲线段 扫过的面积为 即将函数 的图象沿 轴向上平移 个单位 长度得到一个新函数的图象 新函数的表达式是 故选 答案 变式训练 新疆乌鲁木齐 分 把抛物线 向左平移 个单位长度 得到的抛物线的解析式为 答案 解析 易知 则把原抛物线向 左平移 个单位长度后得到的抛物线的解析式为
