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1、2020学年高二年级第五次月考试题理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）A B C D2命题“对任意，都有”的否定为（ ）A对任意，都有 B不存在，都有C存在，使得 D存在，使得3设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于点，过与原点的直线交椭圆于另一点，则的周长为（ ）A4 B8 C D5某种商品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提
2、供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ）A45 B50 C55 D606九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C D7已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D48执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）A98 B99 C100 D1019如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几
3、何体的表面积为（ ）A96 B C D10如下图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D11定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）A B C D12设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，若以为直径的圆过点，且与轴交于，两点，则（ ）A3 B2 C-3 D-2第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13如果函数,的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是 14已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点若，则双曲线的离心率为 15
4、点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 16已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，则直线的斜率为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是，求直线的方程.18 如图，是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为60（）求证：平面（）求锐二面角的余弦值（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得面，并证明你的结论19 已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于
5、两点，且（1）椭圆的方程（2）求的面积；20 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及均值21 已知椭圆的离心率为，且过点，是椭圆上异于长轴端点的两点.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，且，垂足为，垂足为，若，且的面积是
6、面积的5倍，求面积的最大值.22已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点2020学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案一、选择题1-5:DDACD 6-10:DBCCD 11、12：CC二、填空题13 14 15 16三、解答题17解：（1）由题知椭圆的焦点在轴上，且，又，故，故椭圆的方程为，即.（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得.设两点坐标分别为，.则由线段中点的横坐标是，得，解得，符合（*）式.所以直线的方程为或
7、.18解析：（）证明：平面，平面，又是正方形，平面（）两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，与平面所成角为60，即，由，可知：，则，设平面的法向量为，则，即，令，则因为平面，所以为平面的法向量，所以因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（）依题意得，设，则，平面，即，解得：，点的坐标为，此时，点是线段靠近点的三等分点19解：（1）由已知，椭圆方程为：（2）设，则的坐标满足消去化简得，得,.，即，到直线的距离,.20解：（1）小矩形的面积等于频率，除外的频率和为0.70，.故500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄
8、不低于35岁”的人有8名故的可能取值为0，1，2，3，故的分布列为X0123P.21解：（1）依题意解得故椭圆的方程为.（2）设直线与轴相交于点，由于且，得，（舍去）或，即直线经过点，设，的直线方程为：，由即，令，所以，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以（当且仅当，即时“”成立），故的最大值为3.22解：（1）椭圆过点，则，由得，椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，设，则，由得得，当直线的斜率存在时，设的方程为，得，即，由，即故直线过定点2020学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案1、 选择题123456789101112DDACDDBCCDCC2、 填空题13、
9、14、15、 16、三、解答题17、解析：（1）由题知椭圆E的焦点在x轴上，且a，又cea，故b，故椭圆E的方程为1，即x23y25。18、解析：（）证明：平面，平面，又是正方形，平面（），两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，与平面所成角为，即，由，可知：，则，设平面的法向量为，则，即， 令，则因为平面，所以为平面的法向量， ，所以因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（）依题意得，设，则，平面，即，解得：，点的坐标为，此时，点是线段靠近点的三等分点19、【解析】（1）由已知 椭圆方程为： （2）设A（，B，则, 的坐标满足消去化简得， ， ， 得,.， ，即即,=.O到直线的距离,.20、【
10、解析】 （1）小矩形的面积等于频率，除35，40）外的频率和为0.70，x0.06.故500名志愿者中，年龄在35，40）岁的人数为0.065500150（人）（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名故X的可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），故X的分布列为X0123PE（X）0123.（1）依题意解得故椭圆的方程为.（2）设直线与轴相交于点 ， ，由于且，得， （舍去）或，即直线经过点，设， ， 的直线方程为： ，由即， ， ，令，所以，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以（当且仅当，即时“”成立），故的最大值为3.22.试题解析：（1）椭圆过点， ，则，由得，椭圆的方程为得，即，由，即故直线过定点
