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1、单元测评(九)测试内容：圆锥曲线方程测试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知抛物线C：y2x与直线l：ykx1.“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由题意，知直线l过定点(0,1)，点(0,1)在抛物线C的外侧，所以k0时直线l与抛物线C可能有两个交点，可能有一个交点，可能没有交点，故“k0”不能推出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”反之，“直线l与抛物线C有两个不同的交点”可以推得“k0”，所以“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的必要不充
2、分条件答案：B2若双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值为()A.B.C2D1解析：由e2，得2，从而ba0，所以a2 2，当且仅当a，即a时，等号成立答案：A3已知双曲线16y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m()A1 B2 C3 D4解析：双曲线的方程可化为1，所以a，b，取顶点(0，)，一条渐近线为mx4y0.，即m21625，m3.答案：C4设椭圆1(m0，n0)的焦点在抛物线y28x的准线上，离心率为，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：抛物线的准线方程为x2，故椭圆的左焦点坐标为(2,0)，显然椭圆的焦点在x轴上，且c2.又因为离心
3、率为，所以a4，故b2a2c212.椭圆的方程为1.答案：B5双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上的一点，且|PF1|3|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A(1,4) B(1,2C(2，) D2，)解析：如图，设|PF2|m，则|PF1|3m，F1PF2(0)，则2a|PF1|PF2|2m.由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(3m)2m223mmcos10m26m2cos，故2c|F1F2|，故e .因为(0，所以1cos1，e(1,2答案：B6两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，则双曲线1的离心率e等于()A. B.
4、或C. D.或解析：由题意，可得解得或当a3，b2时，双曲线的离心率为e；当a2，b3时，双曲线的离心率为e.所以双曲线的离心率为或.答案：D7设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为12.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由已知得，在椭圆C1中，a6，c5，由此可得在双曲线C2中的a4，c5，故双曲线C2中的b3，双曲线C2的方程为1.答案：A8若双曲线1的渐近线与圆(x2)2y23相切，则此双曲线的离心率为()A1.5 B2 C3.5 D4解析：双曲线的渐近线方程为bxay0.由题意得，圆心到渐近线
5、的距离等于圆的半径，即，整理，得ba，故c2a.故离心率e2.答案：B9若直线mxny4与圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个 B2 C1 D0解析：由直线和圆没有交点，可得2，整理，得m2n24，故点P(m，n)，必在椭圆内，故过该点的直线与椭圆必有2个公共点，故选B.答案：B10若点F1、F2分别为椭圆y21的左、右焦点，P为椭圆上的点，若PF1F2的面积为，则的值为()A0 B. C1 D解析：不妨设点P(x，y)在第一象限，由题意，得F1(，0)，F2(，0)，SPF1F2|F1F2|y|y，解得y.代入椭圆方程，得x1，即点P的坐标为(
6、1，)故(1，)，(1，)则(1)(1)()()2.答案：D11已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，点A(，4)，则|PA|d的最小值是()A. B4 C. D5解析：设抛物线y22x的焦点为F，则F(，0)又点A(，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d，所以d|PF|，则|PA|d|PA|PF|AF|5.答案：D12已知F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，M为双曲线上除顶点外的任意一点，且F1MF2的内切圆交实轴于点N，则|F1N|NF2|的值为()Ab2 Ba2 Cc2 D.解析：由已知，得|MF1|MF2|2a，作图，易知|F1N|NF2|2a，
7、又|F1N|NF2|2c，|F1N|ca或ca，|NF2|ca或ca.因此|F1N|NF2|(ca)(ca)c2a2b2. 答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值等于_解析：由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x，x2)，根据点到直线的距离公式，得d(x)2，所以当x时，d取得最小值.答案：14已知A(，0)，B是圆F：(x)2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_解析：|PA|PF|PB|PF|BF|21|AF|，所以点P的轨迹是以A、F为焦点，2为长轴长的椭圆，所以a1
8、，c，b21.所以点P的轨迹方程为x2y21.答案：x2y2115若椭圆1的离心率e，则k的值为_解析：若焦点在x轴上，即k89时，a2k8，b29，e2，解得k4.若焦点在y轴上，即0k89时，a29，b2k8，e2，解得k.综上，k4，或k.答案：4或16已知双曲线1(a0，b0)且满足bab，若离心率为e，则e的最大值为_解析：因为bab，所以c2a2b2a2，a2，即c2，故e2，故e，因为te在(1，)上为增函数，故e的最大值为.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分17(本小题满分10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上
9、有一点P，F1PF2，且PF1F2的面积为3，求椭圆的方程解析：设椭圆的方程为1(ab0)，F1(c,0)、F2(c,0)因为点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，即4c24a23|PF1|PF2|.又因SPF1F23，所以|PF1|PF2|sin3，得|PF1|PF2|12.所以4c24a236，得b29，即b3.又e，故a2b225.所以所求椭圆的方程为1.18(本小题满分12分)直线l：yax1与双曲线C：3x2y21相交于A，B两点(1)a为何
10、值时，以AB为直径的圆过原点；(2)是否存在这样的实数a，使A、B关于直线x2y0对称？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析：(1)联立方程ax1y与3x2y21，消去y，得(3a2)x22ax20.又直线与双曲线相交于A，B两点，0a(a)又依题有OAOB，令A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y2x1x2，且y1y2(ax11)(ax21)a2x1x2a(x1x2)1.x1x2(1a2)a(x1x2)10.而由方程，知x1x2，x1x2.代入式，得10a21a1满足条件(2)假设这样的实数a存在，则l：yax1的斜率a2.又AB中点(，)在yx上，则y1y2(x
11、1x2)，又y1y2a(x1x2)2.a6，这与a2矛盾故这样的实数a不存在19(本小题满分12分)已知圆O：x2y21，点O为坐标原点，一条直线l：ykxb(b0)与圆O相切并与椭圆y21交于不同的两点A、B.(1)设bf(k)，求f(k)的表达式；(2)若，求直线l的方程解析：(1)因为ykxb(b0)与圆x2y21相切，所以1，即b2k21，所以b(k0)即：f(k)(k0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，得(2k21)x24kbx2b220.又8k20(k0)，所以x1x2，x1x2.则y1y2.则x1x2y1y2.由，所以k21，则b22.又b0，故b.所以l
12、：yx，或yx.20(本小题满分12分)已知曲线C上任一点P到直线x1与点F(1,0)的距离相等(1)求曲线C的方程；(2)设直线yxb与曲线C交于点A，B，问在直线l：y2上是否存在与b无关的定点M，使得AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)依题意，曲线C为抛物线，且点F(1,0)为抛物线的焦点，x1为其准线，设抛物线方程为y22px，由1，得p2.则曲线C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在点M(a,2)满足条件，则kAMkBM0，即0.即x2y1x1y22(x1x2)a(y1y2)4a0.而x1，x2.由整理，得y1y2(y1y2)4a(y1y2)2(yy)16a0.即y1y2(y1y2)4a(y1y2)2(y1y2)22y1y216a0.由得y24y4b0.则y1y24，y1y24b.将代入，得4b(4)4a(4)2(4)28b16a0，即a1.故存在点M(1,2)满足题意21(本小题满分12分)已知F为抛物线y22px的焦点，A(4,2)为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|PF|的最小值为8.(1)求该抛物线的方程；(2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|32，求直线l的倾斜角的取值范围解析：(1)设P点到抛物线
