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1、相似三角形（一）知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例1】如图，点O是ABC的两条角平分线的交点，过O作AO的垂线交AB于D。求证：OBDCBO。分析：此题不易得到边的比例关系，但O点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：12DAO900，再由AODO可得512，而534，从而1234，由13可得24，于是结论得证。 变式1：已知如图，在ABC中，ADAE，AODE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分ABC。求证：。变式2：已知如图
2、（同变式1图），在ABC中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E，且ADAE。求证：（1）BDOOEC；（2）。【例2】如图，在ABC中，BAC900，ADBC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：ABACBFDF。分析：由于ABC和FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明：ABAC，ADBC RtABDRtCAD，DACB 又ADBC，E为AC中点 DEAE，DAEADE BADE 又FF FADFDB 由得变式：本题条件
3、、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？ 【例3】如图，梯形ABCD中，ADBC，BECD于E，且BCBD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。求证：。分析：由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FDFC，再证FDGFAD即可。探索与创新：【问题一】如图，ACBADC900，AC，AD2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？略解：AC，AD2 CD要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当RtABCRtACD时，有 （2）当RtACBRtCDA时，有 故
4、当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。略解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，DC900，由RtADPRtQCP或RtADPRtPCQ得：或由此解得：CQ1或CQ，从而或故当或时，ADP与QCP。跟踪训练：一、填空题：1、如图，在ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使ACPABC的条件是 。2、在直角坐标系中，已知A（3，0）、B（0，4）、C（0，1），过C点作直线交轴于D，使得以点D
5、、C、O为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线有 条。3、如图，在ABC中，C900，AC8，CB6，在斜边AB上取一点M，使MBCB，过M作MNAB交AC于N，则MN 。 4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。5、如图，在锐角ABC中，BDAC，DEBC，AB14，AD4，BEEC51，则CD 。二、选择题：1、下面两个三角形一定相似的是（ ）A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形C、两个钝角三角形 D、两个等
6、边三角形2、如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（ ） A、3对 B、4对 C、5对 D、6对三、解答题： 1、如图，在RtABC中，B900，ABBEEFFC。求证：AEFCEA。 2、如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADDC，DEAC于E，交AB于F。求证：AFDADB。3、如图，在梯形ABCD中，ABCD，D900，AB3，DC7，AD15，请你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长；若不能，请说明理由。 4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问ABC与ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。跟踪训练参考答案一、填空题：1、ACPB或APCACB或；2、4条；3、3，5；4、2种；5、6二、选择题：DD三、解答题：1、设ABBEEFFC，B900，AE ， 且AEFCEA AEFCEA2、证AEDADC，FAECAB，FADDAB3、能，有三个，AP4.5或4、ABCADE，还有ABDACE。- 5 -用心 爱心 专心
