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1、解读用待定系数法求二次函数解析式1.内容提要:二次函数解析式有三种表达形式, 1.一般式:y=ax2+bx+c ;其中 a0, a, b, c 为常数2.顶点式:y=a(xh)2+k ;其中a0, a, h, k 为常数,(h,k)为顶点坐标.3.交点式:y=a(xx1)(xx2);其中a0, a, x1,x2 为常数,x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数,所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点:(1) 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式,一般已知抛物线的顶点,用y=a(xh)2+k(a0)(简称顶点式);已知抛物线与x轴的两个交点(或与x轴的一个交
2、点及对称轴),用y=a(xx1)(xx2)(a0)(简称两点式);(2) 解题过程中待定的系数越少,需构造的方程也越少,这样可以大大简化计算过程,故尽量由已知直接确定某些系数;(3) 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax2+ bx+c=0 (a0),那么最后的结果必须写成此种形式.2.例题分析:(1)一般式法 例1、已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,2),C(2,1)三点,那么这个二次函数的解析式是?解:设二次函数是y=ax2+bx+c,由已知函数图象过(0,1),(1,2),(2,1)三点. (2)顶点坐标法 例2、某抛物线的顶点为(2,3),并经过点(1,5).求此抛物
3、线的解析式.解:(方法一)设二次函解析式为:y=a(xh)2+k,其顶点是(h, k).顶点是(2,3), y=a(x+2)2+3.又过(1,5)点, 5=a(1+2)2+3. a=2, y=2(x+2)2+3, y=2x2+8x+11. 函数解析式为:y=2x2+8x+11.小结:因为有顶点坐标,又过任意一点,可以用顶点式,分别代入顶点坐标,和任意一点坐标,求出a值,结果写成一般式.得a=2, b=8, c=11. 所求二次函数解析式为 y=2x2+8x+11.但(方法二)所列出的三个方程组成的方程组运算较烦琐,所以应采用(方法一),用“顶点式”求解.(3)(与x轴)交点法(已知二次函数图象与x轴的两交点的坐标(x1,0)、(x2,0)时,通常可设函数解析式为y=a(xx1)(xx2)求解.)例4、抛物线y=ax2+ bx+c与x 轴交于点A(3,0),对称轴x=1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线的解析式.说明:此例给出3种解法,显然解法2,解法3较简便,因为它们只需待定一个系数a, 只要构造一个关于a 的方程即可.所以,对于求解二次函数解析式,要注意选择形式.2