《八级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用勾股定理中的数学思想素材新北师大0823141.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用勾股定理中的数学思想素材新北师大0823141.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 S4 S3 S2 S1 图 1 L 3 2 1 勾股定理中的数学思想勾股定理中的数学思想 勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理 它从边的角度进一步刻画了直角三角形的 特征 同学们在学习时 不仅要灵活运用该定理及逆定理 而且还要注意在解题中蕴涵着丰富 的数学思想 比如数形结合思想 转化思想 方程思想等 现举出几例进行分析 供同学们参 考 一 一 数形结合思想数形结合思想 例例 1 1 在直线 L 上依次摆放着七个正方形 如图 1 所示 已知斜放置的三个正方形的面 积分别是 1 2 3 正放置的四个正方形的面积依次是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4 分析分析 经过观察图形
2、 可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为 S1 S2 1 S2 S3 2 S3 S4 3 这样数形结合可把问题解决 解解 S1代表的面积为 S1的正方形边长的平方 S2代表的面积为 S2的正方形边长的平方 所 以 S1 S2 斜放置的正方形面积为 1 同理 S3 S4 斜放置的正方形面积为 3 故 S1 S2 S3 S4 1 3 4 二 转化思想二 转化思想 例 2 如图 2 长方体的长为 15cm 宽为 10cm 高为 20cm 点 B 离点 C 的距离是 5cm 一只蚂 蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C 需要爬行的最短路径是多少 分析 蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬
3、行 如果将长方体的侧面展开 如图 2 1 根据 两点之间线段最短 所以求得的路径就是侧面展开图 中线段 AC 之长 但展开方式有 3 种 这样通过侧面展 开图把立体图形转化为平面图形 构造成直角三角形 利用勾股定理 便可求解 解 如图所示 把长方体展开后得到如图 2 1 图 2 2 图 2 3 三种情形 蚂 蚁爬行的路径为展开图中的 AC 长 根据勾股定理可知 2 在图 2 1 中 AC 2 AB 22 BC 30 22 5 925 图 2 2 中 AC 2 AD 22 CD 20 22 15 625 图 2 3 中 AC 2 AD 22 CD 25 22 10 725 于是 根据上面三种展开
4、情形中的 AC 长比较 最短的路径是在图 2 2 中 故蚂蚁从 A 点爬行到点 C 最短距离为 25cm 三 三 方程思想方程思想 例 3 如图 3 铁路上 A B 两点相距 25km C D 两点为村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 已知 DA 15km CB 10km 现在要在铁路 AB 上建一个农贸市场 E 使得 C D 两村到农贸市场 E 的距离相等 则农贸市场 E 应建在距 A 站多少 km 处 图 3 E D C B A 分析 这是一个实际生活中的问题 从图中可以看出 如果单独解直角三角形 这时条 件不够 根据题意 不妨把两个直角三角形同时考虑进去 设未知数 如果设 AE
5、 x 结合勾 股定理 抓住等量关系 DE CE 列出方程就可以解决问题了 解 设 AE x km 由勾股定理得 15 25 10 2222 xx 解此方程得 x 10 故农贸市场 E 应建在铁路上离 A 站 10km 处 四 四 分类讨论思想分类讨论思想 例 4 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12 求第三边长 分析 已知直角三角形的两边的长度 并没有指明哪一条边是斜边 因此要分类讨论 解 1 当 5 和 12 均是直角边时 则由勾股定理可得斜边的长度为 22 125 13 2 当 5 是直角边 12 是斜边时 则由勾股定理可得另一直角边长为119512 22 综合 1 2 得第三边的长
6、为 13 或119 3 D C B A 试一试试一试 供同学们练习 供同学们练习 1 荆州市 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装 盒 规格为 5 6 10 单位 厘米 在上盖中开有一孔便于 插吸管 吸管长为 13 厘米 小孔到图中边 AB 距离为 1 厘米 到上盖中与 AB 相邻的两边距离相等 设插入吸管后露在盒外 面的管长为 h 厘米 则 h 的最小值大约为 厘米 精确到个位 参考数据 21 4 31 7 52 2 2 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 4 高为 3 若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱 的侧面爬行到点 C 则小虫爬行的最短路程是 答案 5 4 k J H G F E D C BA 3 如图 设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个 正方形 ACEF 再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH 如此下去 1 记正方形 ABCD 的边长为 1 1 a依上述方法所作的正方形的边长依次为 432n aaaa 求出 432 aaa 的值 2 根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an的表达式 答案提示 1 2 2 2 2 3 1 2 0 1 aaaa4 3 2 2 a 1 2 n n n 1 的自然数
