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1、第15讲 三角形及其性质一、 知识清单梳理知识点一:三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例1.三角形的分类(1)按角的关系分类 (2)按边的关系分类 失分点警示:在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时,必须考虑三角形三边关系.例:等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边3.角的关系(1)内角和定理:三角形的内角和等180; 推论:直角三角形的两锐角互余.(2)外角的性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时,若所给条件含比例,倍分
2、关系等,列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰(边)三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性 质(1)角平分线、高结合求角度时,注意运用三角形的内角和为180这一隐含条件.(2)当同一个三角形中出现两条高,求长度时,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.角平分线(1) 角平线上的点到角两边的距离相等(2) 三角形的三条角平分线的相交于一点(内心)中线(1) 将三角形的面积等分(2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 高锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边,且等于第三边的一半5. 三角形
3、中内、外角与角平分线的规律总结如图,AD平分BAC,AEBC,则=BAC-CAE=(180-B-C)-(90-C)=(C-B);如图,BO、CO分别是ABC、ACB的平分线,则有O=A+90;如图,BO、CO分别为ABC、ACD、OCD的平分线,则O=A,O=O;如图,BO、CO分别为CBD、BCE的平分线,则O=90-A.对于解答选择、填空题,可以直接通过结论解题,会起到事半功倍的效果.知识点二 :三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等(3)全等三角形的周长等、面积等失分点警示:运用全等三角形的性质时
4、,要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS(三边对应相等)SAS(两边和它们的夹角对应相等)ASA(两角和它们的夹角对应相等)AAS(两角和其中一个角的对边对应相等)失分点警示如图,SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. 8.全等三角形的运用(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.(2)全等三角形中的辅助线的作法:直接连接法:如图,连接公共边,构造全等.倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图,由SAS可得ACDEBD,则AC=BE.在ABE中,AB+BEAE,即AB+AC2AD.截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图、.例:如图,在ABC中,已知1=2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.2