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1、 乘法公式 同步练习新课指南1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-
2、b2,(ab)2=a22ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.教材解读 精华要义数学与生活如图1516所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，(1)请表示图1516(1)中阴影部分的面积；(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图1516(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？思考讨论 由图1516(1)可知，阴影部分的面积为(a2-b2)，由图1516(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=
3、a2-b2那么如何证明呢？知识详解知识点1 平方差公式及其导出平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.直接计算也可以得到这个公式：
4、(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.知识规律小结 （1）在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：(2x+3)(2x
5、-3)=(2x)2-32=4x2-9；(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.(2)在5149中，a=50，b=1，5149=(50+1)(50-1)=502-12=2499.知识点2 完全平方公式及其推导探究交流计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；(2)(m+2)2= ；(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；(4)(m-2)2= .点拨 两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.一般地，我们有：(a+b)2
6、= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.例如：(2x+3)2=(2x)2+22x3+32=4x2+12x+9，(3m-4)2=(3m)2-23m4+42=9m2-24m+16.在记忆公式(ab)2=a22ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2x2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：(a+b)(a+b)=aa+ab+b
7、a+b2= a2+2ab+b2.同时，也可以用观察情境来推导，如图1517所示.由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2.知识点3 添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.【说明】 添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab.
8、例如：(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+23=x2+5x+6，(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2(-3)=x2-x-6.【注意】 注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.典例剖析 师生互动基本知识应用题本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.例1 运用平方差公式计算.(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).(分析) (1)中，把3x看作a，2看作b；(2)中，2 a看作a，b看作b；(
9、3)中，-x看作 a，2y看作b.解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2例2 运用完全平方公式计算.(1)(4m+n)2； (2)(y-)2.(分析) 主要是正确地应用公式.解：(1)(4m+n)2=(4m)2+24mn+n2=16m2+8mn+n2.(2)(y-)2=y2-2y+()2=y2-y+.【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2和(ab)2=a22ab+b2时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a，哪一个是公式
10、中的b.例3 运用乘法公式计算.(1)10298； (2)1022； (3)992.(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，10298=(100+2)(100-2)；(2)中，1022=(100+2)2；(3)中，992=(100-1)2，然后利用公式计算即可.解：(1)10298=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)1022=(100+2)2=1002+21002+22=10000+400+4=10404.(3)992=(100-1)2=1002-21001+12=10000-200+1=9801.例4 计算.(1)(m-5)(m+3)； (2)(2
11、x-3)(2x-4).(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的应用.解：(1)(m-5)(m+3)=m2+(-5)+3m+(-5)3=m2-2m-15.(2)(2x-3)(2x-4)=(2x)2+(-3)+(-4)2x+(-3)(-4)=4x2-14x+12.综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.例5 计算.(1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c)2；(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看
12、作公式中的a，(2y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3)=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.例6 计算.(1)(b-2)(b2+4)(
13、b+2)； (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.解：(1)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)=(b2-4)(b2+4)=b4-16.(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a2-b2)-(9a2-4b2)=4a2-b2-9a2+4b2=-5a2+3b2.学生做一做 计算.(1)(-x)(+x2)(x+)； (2)(x+3)2-(x+2)(x-2).老师评一评 (1)原式=-x4； (2)原式=6x+13.例7 解方程 2(x-2)+x2=
14、(x+1)(x-1)+x(分析) 熟练应用整式的乘法公式.解：2x-4+x2=x2-1+x，2x+x2-x2-x=-1+4，x=3.例8 解不等式x(x-3)(x+7)(x-7).(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.解：x2-3xx2-49，x2-3x-x2-49，-3x-49，x.探索与创新题主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.例9 计算19982-19971999.(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，19971999=(1998-1)(1998+1).解：19982-19971999=19982-(1998-1)(1998+1)=19982-(19982-1)=1
15、9982-19982+1=1.学生做一做 计算.老师评一评 原式=2003.例10 计算(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1).(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.解：原式=(22-1)(22+1)(24+1)(22n+1)=(24-1)(24+1)(22n+1)=(22n)2-1=24n-1.学生做一做 计算.(1)3(22+1)(24+1)(232+1)+1；(2)1002-992+982-972+962-952+22-12；(3)(1-)(1-)(1-)(1-)(1-).老师评一评 (1)由例10可以得到提示.(22+1)(24+1)(232+1
